陶哲軒發(fā)新論文了，又是AI幫忙的那種
但首度“承認”：AI對其核心研究并不那么重要
豐色 發(fā)自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI
不到一個月的時間，陶哲軒又一篇論文上線：
這次是關于歐拉函數(shù)的單調(diào)非遞減序列，他通過初等論證證明了一個名為M(x)函數(shù)的漸近式。
（即隨著x增大，M(x)的行為趨勢）
該函數(shù)在他之前的一篇博客中有所提及，大意是指一系列從1到x的數(shù)字中，滿足歐拉φ函數(shù)是非遞減的最長子序列的長度。
毫不意外，這篇論文的出產(chǎn)過程中也用到了AI。
不過，這次陶哲軒承認：
AI工具對他的核心研究并不那么有用（但他也表示可能是不想打破一些已有習慣去嘗試）。
對他幫助最大的其實是編碼和生成論文中的流程圖初稿。
對于前者，陶哲軒已多次提及。
GPT可以讓我不用去管計算任務中究竟用的是何種語言（Python還是SAGE、regex等），幾乎只需用自然語言向它提出請求，它就能為我輸出合格的代碼（盡管我還得再編譯一下）。
這真的開始改變我的工作流程。
過去由于我害怕困難，一直避免使用代碼密集型的任務解決問題；現(xiàn)在，這種情況正在消失，我發(fā)現(xiàn)我變得愿意在日常工作中做一些編碼。
那么，就來簡單看看這次的論文究竟說了什么。
準備長腦子了咳咳。
歐拉函數(shù)的單調(diào)非遞減序列
該論文研究主要涉及函數(shù)M(x), 它定義的是數(shù)字1到x的最長子序列的長度，在這個子序列中，歐拉函數(shù)ψ是非遞減的。
（歐拉函數(shù)ψ(n)通常用于表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)量）
由于M的前幾個值是：
1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, …
所以，舉個例子：
M(6)就等于5。
因為歐拉函數(shù)在集合{1,2,3,4,5}或{1,2,3,4,6}上是非遞減的，在{1,2,3,4,5,6}上不是。
而由于對于任何素數(shù)p，ψ(p)=p-1，我們有M(x)≥π(x)。
其中π(x)是素數(shù)計數(shù)函數(shù)（用于表示小于或等于x的正整數(shù)中的素數(shù)的數(shù)量）。
根據(jù)經(jīng)驗，這些素數(shù)非常接近M(x)的最大長度；Pollack, Pomerance和Trevi?o已通過數(shù)值計算推測出下式
中的x=10? 。
相比之下，以前最著名的上限基本上是以下形式：
對于該式子，在顯式常數(shù)C=0.81781中，x→∞。
而將該結(jié)果與上面的結(jié)果相結(jié)合，陶哲軒就得到了漸近式：
所以在特殊情況下：
它既回答了Erd?s的問題，也回答了與Pollack, Pomerance和Trevi?o所密切相關的問題。
陶哲軒介紹，該證明所用方法大多數(shù)都很基礎（解決數(shù)論中最先進結(jié)果所需的只是帶有經(jīng)典誤差項的素數(shù)定理）。
基本思想是隔離給定數(shù)字1≤n≤x中的一個關鍵素因子p，因為它對歐拉函數(shù)有相當大的影響。
例如，對于“典型”數(shù)字n，可以因式分解為：
其中p2是中等大小的素數(shù)，p1是明顯更大的那個，d則是一個所有素數(shù)因子均小于p2的數(shù)。這可得出：
因此，如果我們暫時保持d固定，并將n定位到相對較短的區(qū)間，那么ψ只能在n中是非遞減的——如果p2也同時非遞減。
事實證明，特別是在p2很大的情況下，這個方式顯著減少了該機制中非遞減序列的可能長度。
這個過程可以形式化，達成方式是通過將p的范圍劃分為各種子區(qū)間并檢查它 (以及ψ上的單調(diào)性假設)如何約束與每個子區(qū)間相關聯(lián)的n值。
而當p2很小時，我們使用因式分解：
其中d非常“平滑”（即沒有大素數(shù)因子），而p是大素數(shù)。我們得到近似值：
并得出結(jié)論：為了使ψ不變小，約等式右邊的分數(shù)基本上必須是分段常數(shù)。
再進行一番更仔細的分析之后，我們就能證明初步不等式，最終對于所有正有理數(shù)q得到主要定理：
陶哲軒表示，這其實是一個“小奇跡”，與以下事實有關：
公式(4)中分母的大質(zhì)因數(shù)最低項必然等于d的最大質(zhì)因數(shù)，這使得我們能夠非常準確地得出公式(5)的左邊，從而輕松構(gòu)建整個公式(5)。
在論文的最后一部分，陶哲軒還討論了強猜想（1）的一些近似反例，這些例子表明，如果不假設一些“相當強的假設”，可能很難接近證明此猜想。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2309.02325
參考鏈接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/111018835694062000
[2]https://terrytao.wordpress.com/2023/09/06/monotone-non-decreasing-sequences-of-the-euler-totient-function/
- 看完最新國產(chǎn)AI寫的公眾號文章，我慌了！2025-12-08
- 給機器人打造動力底座，微悍動力發(fā)布三款高功率密度關節(jié)模組2025-12-08
- 云計算一哥10分鐘發(fā)了25個新品！Kimi和MiniMax首次上桌2025-12-03
- Ilya剛預言完，世界首個原生多模態(tài)架構(gòu)NEO就來了：視覺和語言徹底被焊死2025-12-06
