張益唐111頁零點猜想論文出爐！自稱比孿生素數(shù)猜想意義更大，每天思考12小時被太太罵

衡宇 2022-11-05 17:42:19 來源：量子位

編輯部 發(fā)自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

張益唐攻克朗道-西格爾零點猜想的論文，來了！

111頁論文，滿滿當(dāng)當(dāng)全是表達式。

論文釋出之前，張益唐證明這一黎曼猜想相關(guān)問題的消息，早已震動數(shù)學(xué)界。

就有專家教授表示：

張益唐要是能把Landau-Siegel做出來，就相當(dāng)于一個人被閃電擊中兩次。

而張益唐自己也說，攻克朗道-西格爾零點就像是大海撈針。

整個過程我把海底的情況都摸清楚了，后來發(fā)現(xiàn)不用這根針，我也能把它做出來。

關(guān)于這項成果的意義，張益唐則認為：

比孿生素數(shù)猜想的意義更大，朗道-西格爾零點猜想有點像黎曼猜想那樣，它一解決，一百個猜想都變成定理了。

完整論文，我們文末奉上。

朗道-西格爾零點猜想

所謂朗道-西格爾零點猜想，簡單來說就是黎曼猜想的某種弱形式。

核心要回答的一個問題就是：是否存在一個叫做朗道-西格爾零點的東西。

首先我們設(shè)實數(shù)σ，t和復(fù)數(shù)s=σ+it。

根據(jù)知乎博主“TravorLZH”的介紹，十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家為了研究素數(shù)分布引入了黎曼猜想。

而為了研究等差數(shù)列上的素數(shù)分布，數(shù)學(xué)家Dirichlet引入了L函數(shù)。

再后來，數(shù)學(xué)家也發(fā)展出了對應(yīng)的解析工具來說明L函數(shù)在σ=1時無零點，從而證明了等差數(shù)列上的素數(shù)定理：

但對于上面的公式，數(shù)學(xué)家們依舊是不滿意，他們還要繼續(xù)縮減L函數(shù)的非平凡零點的存在區(qū)域。

于是前人證明了L函數(shù)的非平凡零點基本上都能落在類似于下面公式中的沙漏型的區(qū)域：

如果L函數(shù)所有的非平凡零點都落在這個區(qū)域內(nèi)，就可以得到帶余項的等差數(shù)列素數(shù)定理。

可惜的是，數(shù)學(xué)家Edmund Landau發(fā)現(xiàn)當(dāng)X滿足特殊性質(zhì)時其對應(yīng)的L函數(shù)可能會出現(xiàn)落在上面公式之外的異常零點（exceptional zero）。

但幸運的是，Landau證明了對于每個這樣的L函數(shù)，若下面區(qū)域中存在異常零點，則這樣的零點只可能出現(xiàn)一個，而且階數(shù)也恰好只能是一。

后來Walfisz利用這個更弱的非零區(qū)域得到了一個妥協(xié)版的等差數(shù)列素數(shù)定理：

很明顯，這個公式的限制條件要多了許多，所以大家當(dāng)然希望L函數(shù)能夠沒有異常零點。

由于Landau和Siegel兩位數(shù)學(xué)家在L函數(shù)異常零點這個領(lǐng)域里做了開創(chuàng)性的工作，所以異常零點也常常被稱為Landau-Siegel零點。

而斷言L函數(shù)沒有異常零點的猜測就被稱為Landau-Siegel猜想。

整體來看，其實廣義黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分條件。

但這一個世紀(jì)以來的研究表明Landau-Siegel問題可以比黎曼猜想還要難解決。

實際上，關(guān)于朗道-西格爾猜想，早在07年張益唐就曾在arXiv上發(fā)布一篇論文，但是里面的論證有些Bug。

有意思的是，在與北大校友交流時，張益唐透露，一開始，他并沒有很系統(tǒng)地去研究這個猜想。

但當(dāng)今年的新晉菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德（James Maynard），2020年在他的基礎(chǔ)之上，把“孿生素數(shù)猜想”的結(jié)果又改進了一大步，張益唐心想：

我一定要做出一個更好的東西。

每天12小時思考數(shù)學(xué)問題

上面這則趣聞，出自北京大學(xué)大紐約地區(qū)校友會主辦的張益唐線上交流座談。

在其中，還有更多關(guān)于這位世界級數(shù)學(xué)家真實的一面。

在此，我們附上QA環(huán)節(jié)的部分文字整理：

主持人：研究和生活中覺得最困難的時候是如何堅持下來的呢？

張益唐：如果是指2013年之前（張益唐在2013年證明孿生素數(shù)猜想），那可能是我這人天性比較淡泊，我對生活要求很低，所以我也沒有太多的困難。

盡管看著別人掙錢多，也不能說沒有一點不平衡，但總的講我還是能坦然處之的。

就是我只要有錢能夠花，盡管弄得我太太不高興（全場大笑），但我還是不覺得太困難，我還是能夠堅持下來。

主持人：您如何維持對一件事情的專注？

張益唐：這是一種習(xí)慣，某種程度我都覺得是不是我得了一種強迫癥。就說你想停都停不下來了。

比如朗道-西格爾零點問題。就是我剛才說大海撈針，最后我也覺得這個針大概是沒有了，撈不到了，可還是停不下來。

某種程度上，如果說你一旦真的是完全被吸引住的話，不用刻意怎么樣去維持，自然應(yīng)該就是能夠維持的。

主持人：平均每天花多長時間思考數(shù)學(xué)問題？

張益唐：坦率講我一天至少思考12個小時以上。

因為我可以不寫，不看書，我可以在走路，或者干別的什么事。但我可以一直想這個問題，所以實際上應(yīng)該是非常長的。長到連我太太都要罵我。

我順便提一下，就是當(dāng)我的結(jié)果快完成的時候，我?guī)缀跏敲刻焱砩献鰤舳荚谙脒@個。而且非常有意思，總覺得這一步還不對，還有問題，弄得挺煩惱，幾乎每天都是這樣。

主持人：您如何看待學(xué)術(shù)上的競爭與合作，比如讀書時與同門之間的競爭、畢業(yè)后與同行之間的競爭。您是如何調(diào)整心態(tài)？

張益唐：我覺得競爭是正常的。不要說在學(xué)術(shù)上，就說人有沒有心理不平衡的時候，這多少都會有的。

比如我最近遇到的一次，就是那個英國年輕數(shù)學(xué)家梅納德（詹姆斯·梅納德），他在孿生素數(shù)這個問題下，一下把我給超過去了，而且超過了不少。

你說當(dāng)時我的心理是什么樣的？我也不管了，反正我已經(jīng)出名了。（全場大笑）

沒有。其實朗道-西格爾零點問題，我以前就開始在想了，但沒有那么系統(tǒng)地想。但就是這樣，我就下決心我一定還要做出一個更好的東西。

而在今天我敢說這句話，我已經(jīng)把它做成了。

主持人：關(guān)于數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)的應(yīng)用化，張師兄怎么看？

張益唐：數(shù)學(xué)里頭很多東西都已經(jīng)被應(yīng)用，而且正在發(fā)現(xiàn)越來越多的應(yīng)用，特別在物理在工程上什么的。

即使有一些現(xiàn)在還沒有找到應(yīng)用的，比如像純粹的解析數(shù)論要解決的這些問題，我相信早晚也會發(fā)現(xiàn)它是能應(yīng)用的。但具體這個時間我還不能預(yù)測。

另外我們不能說因為這個東西現(xiàn)在暫時沒有應(yīng)用，或者找不到應(yīng)用，就輕視它。

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)科學(xué)的這個研究，它不僅將來會具有潛在的應(yīng)用，它也是衡量一個民族，一個國家，你的文化程度，你的發(fā)達程度，這一點是不能忽略的。

論文傳送

最后，奉上張益唐這篇Landau-Siegel零點猜想完整論文。

在量子位公眾號后臺回復(fù)張益唐或零點猜想，即可獲取論文PDF。

另外，此番有關(guān)朗道-西格爾零點猜想，11月8日，張益唐也會面向北大師生專門做一場學(xué)術(shù)報告。B站會有同步直播，感興趣的小伙伴可以馬克起來~

△圖源：北京國際數(shù)學(xué)研究中心BICMR