十三 魚羊 發(fā)自 凹非寺
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
八月的一個清晨，數(shù)學(xué)天才、菲爾茲獎得主陶哲軒點(diǎn)開了一封來自三位陌生物理學(xué)家的郵件。
三人在郵件中解釋道：
我們偶然發(fā)現(xiàn)了一個公式，如果這個公式是正確的，那么它就會在線性代數(shù)中一些最基本且重要的對象之間建立一種意想不到的關(guān)系。
然而陶哲軒的第一反應(yīng)卻是：
這么短、這么簡單的東西，早就應(yīng)該出現(xiàn)在教科書里了。這不可能是真的。
其實(shí)，陶哲軒向來不喜歡以這種方式被咨詢，甚至在他的主頁上寫下了警告：別拿你的手稿隨便打擾我。
但令三位物理學(xué)家驚訝的是，僅僅2個小時之后，他們就收到了陶哲軒的回復(fù)。
而更意想不到的是，在一周半后，他們還一起發(fā)表了論文，闡述了這個公式的證明過程。
是什么樣的公式受到陶哲軒如此青睞？
求解特征向量。
沒錯，就是這個再普通不過的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)求解公式。
按照傳統(tǒng)解法：
計算特征多項式→求解特征值→求解齊次線性方程組，得出特征向量。
而這三位物理學(xué)家在研究“中微子”的過程中，卻意外發(fā)現(xiàn)另一種奇妙解法：
知道特征值，只需要列一個簡單的方程式，特征向量便可迎刃而解。
△三位物理學(xué)家。從左至右：張西寧、Peter Denton和Stephen Parke。
就像陶哲軒所說：
這個公式看起來好得令人難以置信。
我完全沒想過，子矩陣的特征值編碼了原矩陣特征向量的隱藏信息。
耶魯大學(xué)數(shù)學(xué)家Van Vu則用“驚人”和“有趣”兩個詞來形容這一發(fā)現(xiàn)。
一位Hacker News網(wǎng)友甚至認(rèn)為，這一公式的理論價值在克萊姆法則之上。
注：克萊姆法則是線性代數(shù)中的基本定理，用行列式計算出n元一次方程組的解。
新方法怎么來的？
先來回顧下我們所熟知的特征向量和特征值。
一個矩陣乘以一個向量，就相當(dāng)于做了一個線性變換。但這個向量的方向往往會發(fā)生改變。
但若是存在一個矩陣A，讓這個向量v在線性變換后，方向仍然保持不變，只是拉伸或者壓縮一定倍數(shù)，即：Av=λv。
那么，這個向量v就是特征向量，λ就是特征值。
在現(xiàn)在的教科書里，已知特征向量求特征值比較容易，但是求矩陣的特征值又比求特征向量方便。
但三位物理學(xué)家在計算中微子振蕩概率的時候發(fā)現(xiàn)：
特征向量和特征值的幾何本質(zhì)，其實(shí)就是空間矢量的旋轉(zhuǎn)和縮放。而中微子的三個味（電子，μ子，τ子），不就相當(dāng)于空間中的三個向量之間的變換嗎？
中微子振蕩是一種量子力學(xué)現(xiàn)象。實(shí)驗發(fā)現(xiàn)，電子中微子、μ子中微子和μ子中微子這三種中微子之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，而這就是中微子振蕩現(xiàn)象。
△圖源：Quantamagazine
物理學(xué)家們意識到，特征向量和特征值之間，可能存在更普遍的規(guī)律。于是，新公式的面紗被揭開了。
通過刪除原始矩陣的行和列，創(chuàng)建子矩陣。
子矩陣和原始矩陣的特征值組合在一起，就可以計算原始矩陣的特征向量。
簡而言之，已知特征值，一個方程式就可以求得特征向量。
△圖源：Quantamagazine
這個新公式有多牛？
數(shù)學(xué)天才、菲爾茲獎得主陶哲軒評價道：
新公式的非凡之處是，在任何情況下，你不需要知道矩陣中的任何元素，就可以計算出你想要的任何東西。
證明過程
在陶哲軒的回信中，他還附上了這一新公式的三種證明方法，并在之后和Peter Denton、Stephen Parke、張西寧三位物理學(xué)家一起發(fā)表了論文。
先定義A為一個n x n的厄米特矩陣，它具有特征向量λi(A)和賦范特征向量vi。
厄米特矩陣(Hermitian Matrix)能夠將特征向量轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，更適用于解決現(xiàn)實(shí)世界的問題。
特征向量中的每個元素標(biāo)記為vi,j。
通過刪除jth行和jth列，可以得到A的子矩陣Mj，大小為(n-1) x (n-1)，它的特征值為λk(Mj)。
首先，通過證明可以得到一個柯西-比內(nèi)(Cauchy-Binet)型公式。
引理1。讓A的一個特征值為0，不失一般性的，可以讓λn(A)=0。那么對于任意大小為n x (n-1)的矩陣B，我們可以得到：
接下來就可以進(jìn)入新公式的推導(dǎo)了。
引理2。特征向量各元素的范數(shù)平方與其特征值、子矩陣特征值有關(guān)。
于是可以證明：令j=1且i=n。通過λn(A)In 轉(zhuǎn)化(shift) A，使得λn(A)=0；這也同樣轉(zhuǎn)化了A和Mj中所有剩余的特征值，因此公式2就變?yōu)椋?/p>
注意，公式3的右側(cè)為det(M1)。
接下來，在B=(0，In-1)中應(yīng)用引理1。我們發(fā)現(xiàn)公式1的左邊為
公式1的右邊為det(M1)。
證明：對于任意不是A的特征值的λ，
對于，j∈[1,n]有，
進(jìn)一步簡化，并取極限λ→λi(A)，
公式7右邊的對角元素提供了公式2的左半部分。通過共軛的定義，公式7左邊的對角元素決定了λi(A)In-A的子矩陣。
應(yīng)用引理2，必然的結(jié)論就是，如果特征向量中的一個元素消失，vi,j=0，那么矩陣A的特征向量方程將化為其子矩陣Mj的一個特征向量方程。
這一發(fā)現(xiàn)所帶來的影響
簡而言之，物理學(xué)家們的這一最新成果，將使人們可以僅使用特征值信息，計算出特征向量。
而在現(xiàn)在的教科書里，已知特征向量求特征值比較容易，但是求矩陣的特征值又比求特征向量方便。
也就是說，這一成果揭示了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)新的事實(shí)。
更為重要的是，在現(xiàn)實(shí)世界中，無論是在數(shù)學(xué)、物理學(xué)還是工程學(xué)中，許許多多的問題都涉及到特征向量和特征值的計算。
比如計算中微子振蕩概率。
比如在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，數(shù)據(jù)降維，人臉識別，都涉及矩陣特征值/特征向量理論的實(shí)際應(yīng)用。
俄亥俄州立大學(xué)的粒子物理學(xué)家John Beacom指出，這一理論應(yīng)用前景廣泛，甚至將打開新世界的大門。
物理學(xué)家和數(shù)學(xué)天才的合作
被三位物理學(xué)家邀請，并證明了新公式的數(shù)學(xué)家是公認(rèn)的數(shù)學(xué)天才陶哲軒（Terence Tao）。
△陶哲軒
他7歲讀高中，9歲上大學(xué)，13歲獲得國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽金牌，是IMO金銀銅牌最年輕得主紀(jì)錄的保持者。
24歲，他就成為UCLA數(shù)學(xué)系終身教授，31歲獲得了有“數(shù)學(xué)界諾貝爾獎”之稱的菲爾茲獎，成為第二位獲此殊榮的華裔數(shù)學(xué)家。
而三位物理學(xué)家，一位是美國布魯克黑文國家實(shí)驗室的助理物理學(xué)家彼得·丹頓（Peter B.Denton）。2016年博士畢業(yè)于范德比爾特大學(xué)物理系。
另一位是新西蘭物理學(xué)家斯蒂芬·帕克（Stephen J. Parke）。他是美國費(fèi)米國家加速器實(shí)驗室的杰出科學(xué)家和理論物理系主任，專注于中微子物理學(xué)和頂夸克物理學(xué)研究。
最后一位作者張西寧（Xining Zhang）同樣是華人面孔，就讀于芝加哥大學(xué)，從事理論粒子物理研究，是斯蒂芬·帕克的弟子。
傳送門
論文地址：
https://arxiv.org/abs/1908.03795
https://arxiv.org/abs/1907.02534
博客地址：
https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math-20191113/
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