蘇州大學首篇數學四大刊！解決了40年未決的丟番圖逼近問題
將數論辛欽定理推廣到自相似測度
聞樂 發自 凹非寺
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中國學者又一篇數學四大刊成果出爐，還是蘇州大學的首篇四大刊成果。
論文《Khintchine dichotomy for self-similar measures》已被Journal of the American Mathematical Society（《美國數學雜志》）錄用。
該項成果的作者是蘇州大學副教授張涵，合作者有Timothée Bénard?（法國國家科學研究中心 (CNRS)，巴黎北索邦大學 (LAGA) 的研究員）和何偉鯤?（中國科學院數學與系統科學研究院副研究員）。
《數學年刊》《數學學報》《數學新進展》和《美國數學雜志》并稱為數學四大刊，是國際數學界公認的數學頂級期刊，每年中國研究機構中選論文經常不超過10篇。
這次的突破是把描述有理數如何近似表達實數的辛欽定理推廣到了所有自相似測度上。
接下來咱就看看是怎么個拓展法。
從勒貝格測度到所有自相似測度
要理解這項研究的價值，首先得先說說兩個關鍵概念——辛欽定理和自相似測度。
辛欽定理是概率論中大數定律的一個核心結論，從理論上揭示了獨立同分布隨機變量序列的算術平均值，會依概率收斂到其共同的數學期望。
也就是解釋了我們日常生活中一個默認的現象：當樣本足夠多時，樣本的平均值會靠近總體的真實平均值。
在數論分支上，它還有一個重要的應用，就是用來描述有理數逼近實數的規律。
像π這樣的實數，沒辦法用一個有理數精確表示，但總能找到一個分數，讓它和這個實數的差距縮小到我們想要的任意精度。
比如用22/7逼近π，誤差不到0.0015；用355/113逼近π，誤差更是能縮小到千萬分之三。
而數論領域的辛欽定理，就從數學層面量化了這種逼近的可能性和效率。它給出了一個明確的判定規則，告訴我們什么樣的實數，能被有理數以多快的速度逼近，以及這種高效逼近的有理數，到底是稀有還是常見。
而這個判定規則，關鍵看一個特定的逼近函數ψ的求和是否發散——發散則好逼近的點多，收斂則好逼近的點少。
不過，之前辛欽定理多適用于勒貝格測度，也就是長度、面積、體積等常規度量。
而這次論文將其推廣到自相似測度，關鍵性質是局部與整體的分布規律相似。
與均勻的勒貝格測度不同，它會根據自相似集合的結構，把測度質量集中在集合的關鍵部分。
如果把一個帶有自相似測度的集合放大或縮小一定比例，得到的局部集合的測度分布，和原來的整體集合的測度分布是成比例復刻的。
這類測度廣泛存在于分形幾何、動力系統等領域。最典型的例子就是中間三分之一康托爾集（通過無限次三等分線段、去掉中間一段形成的分形）上的測度。
此次研究通過三個關鍵理論支撐實現了突破。
一是定理A直接確立了自相似測度下的辛欽二分法，與經典定理形式保持一致；
二是定理B證明了自相似測度在擴展變換下的有效等分布，并給出了誤差估計。
聽著玄，其實就是隨著變換推進，測度會越來越均勻地鋪在空間里，而且能算出不均勻的程度有多小，也就是能精準知道什么時候能近似均勻分布。
三是定理C通過研究特定隨機游走的等分布特性，為前兩項定理提供了堅實基礎。
隨機游走可以理解成：每次按概率選一個方向走一步，多次后形成的軌跡分布。
定理C證明這種隨機游走的軌跡分布，也能實現有效等分布。
而定理A要的“自相似測度規律”、定理B要的“擴展變換下的均勻分布”，本質上都和“測度如何隨變換/步數均勻化”有關。
定理C先把“隨機游走的均勻化規律”搞清楚了，后面定理A和B只需要把自相似測度放進這個框架里，就能順理成章地推出結論。
這一系列證明也徹底解決了1984年數學家Mahler提出的康托爾三分集上的丟番圖逼近問題。
這個問題的核心就是想知道分形上的無理數能否被有理數有效逼近，以及逼近規律是否與普通線段一致。
如今，論文給出了明確答案：分形與普通線段的逼近規律完全相同，依然由ψ函數的求和斂散性決定。
這項成果打通了齊次動力系統、分形幾何、數論三大領域的研究路徑，為后續交叉學科研究提供了重要借鑒。
作者介紹
Timothée Bénard， 是法國國家科學研究中心（CNRS），巴黎北索邦大學?（LAGA）?的研究員。
研究興趣在于李群及其離散子群商群上的隨機游走，研究領域主要是概率論、動力系統、調和分析和李群理論。
何偉鯤，2017年博士畢業于巴黎第十一大學。
隨后分別在耶路撒冷希伯來大學與韓國高等研究院任博士后。
2022年初入職中國科學院數學與系統科學研究院，任副研究員。研究興趣包含齊次動力系統、分形幾何、幾何。
張涵，博士畢業于俄亥俄州立大學，后進入清華大學進行博士后研究。
2023年10月入職蘇州大學，被聘為校優秀青年學者、特聘副教授，研究方向為齊性動力系統及其在數論中的應用。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2409.08061
參考鏈接：https://math.suda.edu.cn/74/62/c10866a685154/page.htm
— 完 —
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