真·博士水平！GPT-5首次給出第四矩定理顯式收斂率，數(shù)學(xué)教授只點(diǎn)撥了一下

時令 2025-09-10 17:17:24 來源：量子位

時令 發(fā)自 凹非寺

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GPT-5真不愧是博士水平的AI！

在數(shù)學(xué)教授引導(dǎo)下，它首次將定性的第四矩定理擴(kuò)展為帶有顯式收斂率的定量形式。

簡單來講就是，原來的定理僅說明收斂會發(fā)生，卻沒有給出具體速度，而借助GPT-5，這項(xiàng)研究首次明確了收斂速率。

OpenAI聯(lián)合創(chuàng)始人Greg Brockman對此表示甚是欣慰。

網(wǎng)友同樣表示，真是奇跡。

借助GPT-5解決第四矩定理的定量收斂率

上個月，OpenAI研究人員Sebastien Bubeck稱，GPT-5 Pro在數(shù)分鐘內(nèi)解決了凸優(yōu)化領(lǐng)域的一個開放性問題，將已知的邊界值從1/L改進(jìn)為1.5/L。

受此啟發(fā)，三位數(shù)學(xué)教授在Malliavin–Stein框架下開展了一項(xiàng)對照實(shí)驗(yàn)。

目標(biāo)在于考察GPT-5能否突破既有成果，將定性的第四矩定理推廣為帶有顯式收斂率的定量形式，并涵蓋高斯情形與泊松情形。

首先，研究人員從以下初始提示開始：

論文2502.03596v1建立了一個定性的第四矩定理，適用于兩個Wiener–It?積分（階數(shù)分別為p和q）的和，其中p和q的奇偶性不同。

基于Malliavin–Stein方法（具體可參見1203.4147v3），你能否推導(dǎo)出一個針對總變差距離的定量版本，其收斂速率僅依賴于該和的第四階累積量？

(具體分析步驟已省略，感興趣的讀者可閱讀原論文。)

第一次互動效果非常顯著，GPT-5給出了總體正確的結(jié)論，并采用了恰當(dāng)?shù)墓ぞ吆头椒ā?/p>

然而，它在推理過程中出現(xiàn)了錯誤，導(dǎo)致

的表達(dá)式不正確，如果不加以糾正，可能會使整個證明失效。

發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)后，研究者隨后提出了新的問題：

你能檢查一下你給出的

公式，并提供詳細(xì)推導(dǎo)嗎？

GPT-5照做了，提供了所需的詳細(xì)信息。然而，公式依然不正確，附帶的解釋也有誤。隨后，研究人員更準(zhǔn)確地指出了其中的錯誤：

我認(rèn)為你在聲稱

時有誤。為什么會是這樣呢？

GPT-5最終承認(rèn)該說法是錯誤的。但更重要的是，它理解了錯誤的來源。隨后，繼續(xù)給出了正確的推理過程和公式。

隨后，應(yīng)研究者的要求，GPT-5將最終結(jié)果整理成論文的格式，包括引言、主要定理的陳述、完整且正確的證明過程，以及參考文獻(xiàn)。具體提示語如下：

請將此整理成一篇可投稿的研究論文，遵循我的風(fēng)格（見附帶論文0705.0570v4）：

以引言開始，提供一定的背景信息；

接著陳述主要結(jié)果，并給出非常詳細(xì)的證明，確保每一步都完整；

最后附上完整的參考文獻(xiàn)。

最終文檔應(yīng)為一個可編譯的LaTeX文件。

最后，研究人員還讓它增加一個結(jié)論部分，討論該結(jié)果在未來研究中可能的拓展方向。

你能添加一個“結(jié)論與展望”部分嗎？在其中總結(jié)主要內(nèi)容，并提出未來研究可能的方向或拓展思路。

GPT-5依舊很聽話，提出這個方法甚至可以推廣到非高斯框架中。

擴(kuò)展到泊松情形

基于這一建議，研究人員決定繼續(xù)深入研究，嘗試將其推廣到泊松情形。

由于這時研究者發(fā)現(xiàn)上下文窗口已經(jīng)相當(dāng)長，可能會影響其性能，于是他們開啟了一個新對話，并使用了如下提示：

這里有一篇論文（2502.03596v1），證明了兩個奇偶性不同的Wiener–It?積分之和的第四矩定理。我希望你能將其推廣到泊松情形，使用論文1707.01889v2中包含的思路。

在這個新對話中，GPT-5很快就識別出了泊松情形與高斯情形的結(jié)構(gòu)性差異，提出：當(dāng)X和Y是不同階的泊松積分時，混合期望

不一定為零。

但同時，它也完全忽略了一個重要事實(shí)，就是即使在泊松情形下，也仍然有

。

隨后，研究者試圖通過提問來引導(dǎo)GPT-5進(jìn)入正軌。

在論文1707.01889v2中，難道沒有任何內(nèi)容可以表明

總是非負(fù)的嗎？

但是，由于研究者問的問題是開放性的，這還不足以觸發(fā)正確的思路。GPT-5非常自信地回答道：“沒有”，隨后給出了一個不太令人信服的解釋。

然而，一旦研究者指出具體信息:

那 (2.4) 呢？

GPT-5就能立刻將非負(fù)性考慮進(jìn)去，并在研究者提出問題后，重新表述了定理。

One More Thing

有趣的是，作者最開始想將GPT-5列為共同作者提交論文，幾個小時后，arXiv告訴他們，政策禁止將AI列為作者。

最后，他們只能提交作者列表中不含GPT-5的論文。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2509.03065v1
參考鏈接：
[1]https://x.com/gdb/status/1964474141295464675
[2]https://www.linkedin.com/posts/ivan-nourdin-61698a131_mathematical-research-with-gpt-5-activity-7368607852220805120-qLJA/?utm_source=share&utm_medium=member_desktop&rcm=ACoAAAzTDtoBh8KeVDRAqwRd0mUwfVpwfyirm80
[3]https://arxiv.org/abs/2502.03596
[4]https://arxiv.org/pdf/1707.01889