《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究，估算歐拉數(shù)誤差僅0.00766%！

在《我的世界》里估算歐拉數(shù)e，誤差僅約0.00766%！

兩位數(shù)學(xué)博士“跨界”整了個(gè)大大大活兒——

用《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究，通過(guò)游戲機(jī)制成功估算各種數(shù)學(xué)常數(shù)的值。

√2、π、歐拉數(shù)e、阿佩里常數(shù)ζ(3)，難度逐級(jí)遞增，但都是他們的實(shí)驗(yàn)對(duì)象。

對(duì)于阿佩里常數(shù)ζ(3)，用這兩位作者的話說(shuō)，一般人可能見(jiàn)都沒(méi)見(jiàn)過(guò)，但也能用《我的世界》近似算出值來(lái)，而且誤差僅約為0.4%。

實(shí)驗(yàn)結(jié)合游戲機(jī)制用到了各種方法，比如近似π值時(shí)，使用了蒙特卡洛積分法，借助游戲中的僵尸疣豬獸殺死史萊姆來(lái)完成。

兩位作者分別是來(lái)自自霍林斯大學(xué)、美國(guó)羅諾克大學(xué)的助理教授。

論文中，他們不僅介紹了每個(gè)常數(shù)的數(shù)學(xué)歷史背景，詳細(xì)說(shuō)明了如何在《我的世界》中設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)近似計(jì)算這些值，甚至還提出了具體的改進(jìn)建議，為大伙兒留下了“課后作業(yè)”來(lái)挑戰(zhàn)。

作者強(qiáng)調(diào)這些實(shí)驗(yàn)的目的不是為了獲得最精確的近似值，而是為了激發(fā)大家從這項(xiàng)研究中找到靈感，用有趣的方式探討復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

希望本文能夠展示一小部分?jǐn)?shù)學(xué)與《我的世界》結(jié)合的可能性，并激勵(lì)人們以有趣和引人入勝的方式探索復(fù)雜的數(shù)學(xué)主題。雖然我們選擇使用《我的世界》來(lái)近似無(wú)理數(shù)，但我們相信還有許多其它環(huán)境適合進(jìn)行此類實(shí)驗(yàn)。

所以，究竟是如何做到的？

用《我的世界》近似數(shù)學(xué)常數(shù)的值

在估算數(shù)學(xué)常數(shù)前，先來(lái)淺淺了解一下《我的世界》中將被用作“實(shí)驗(yàn)道具”的材料。

漏斗（Hopper）：

如果一個(gè)玩家/動(dòng)物/怪物站在漏斗上方被殺死，那么漏斗會(huì)收集該生物掉落的物品。因此，漏斗可以用來(lái)記錄生物被殺死的位置。

除收集物品外，漏斗還具有另一個(gè)特性，它們可以以每秒2.5個(gè)物品的恒定速率釋放物品。漏斗釋放物品的能力可以開(kāi)啟或關(guān)閉。

由于漏斗以恒定速率釋放物品，它們可以用作計(jì)時(shí)器。例如，如果一個(gè)漏斗釋放了25個(gè)物品，那么我們知道漏斗釋放物品的時(shí)間在10秒到10.4秒之間。

當(dāng)然《我的世界》中有制作更精確計(jì)時(shí)器的方法，但對(duì)于該實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，漏斗計(jì)時(shí)器夠用。

投擲器（dropper）：

投擲器是一個(gè)可以投擲物品的方塊，可同時(shí)容納9種不同物品。

當(dāng)被激活時(shí)，投擲器會(huì)隨機(jī)選擇其中的一個(gè)物品進(jìn)行投擲。因此，投擲器可以用作隨機(jī)化工具。例如，如果投擲器中有5種不同的物品，那么特定物品被投擲出去的概率是1/5。

偵測(cè)器（observer）：

偵測(cè)器是一個(gè)方塊更新檢測(cè)器，可以檢測(cè)到它面對(duì)的方塊狀態(tài)是否發(fā)生變化。

一個(gè)方塊可能發(fā)生的變化包括作物生長(zhǎng)、冰融化、火勢(shì)蔓延……這些變化是隨機(jī)發(fā)生的，因此可以通過(guò)偵測(cè)器檢測(cè)這些變化來(lái)創(chuàng)建一個(gè)隨機(jī)化工具。

接下來(lái)就可以玩“數(shù)學(xué)游戲”啦～

PS：題目難度由簡(jiǎn)入難

√2

早在2000多年前，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用反證法證明了√2不能寫作兩整數(shù)之比，√2也成為了人們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)無(wú)理數(shù)。

現(xiàn)在，√2也是該研究第一個(gè)要用《我的世界》估算的數(shù)學(xué)常數(shù)。

方法利用了45°-45°-90°直角三角形的邊長(zhǎng)比是1 : 1 : √2。

這樣的三角形在《我的世界》中很容易制作，因?yàn)椤段业氖澜纭分校胖萌魏畏綁K都必須放在網(wǎng)格上。

要近似計(jì)算√2的值，可以簡(jiǎn)單地分別測(cè)量玩家以恒定速度沿著一條直角邊和斜邊行走所需的時(shí)間，斜邊長(zhǎng)度是直角邊的√2倍，行走時(shí)間比率也應(yīng)該近似為√2。

如前所述，漏斗以恒定速率釋放物品，可以計(jì)算玩家行走期間所釋放的物品數(shù)量，以此來(lái)計(jì)時(shí)。

實(shí)驗(yàn)中，沿著斜邊行走完，漏斗釋放了57個(gè)物品，沿著一條直角邊行走完，漏斗釋放了41個(gè)物品。

所以得出：

√2保留到小數(shù)點(diǎn)后四位是√2=1.4142，所以近似值誤差為1.70%。

作者還表示這種方法還可以改進(jìn)：

一個(gè)很明顯的改進(jìn)方法是構(gòu)建一個(gè)更大的三角形，近似值將更準(zhǔn)確。或者可以讓行走速度變慢，玩家可以在出發(fā)前喝下緩慢藥水。

以此類推可以估算√5的值，但√7不行，7不能表示為兩個(gè)完全平方數(shù)的和。

這引出了一個(gè)問(wèn)題：哪些數(shù)字可以表示為兩個(gè)平方數(shù)的和？

作者認(rèn)為對(duì)于幾何學(xué)老師來(lái)說(shuō)，可以使用這樣的實(shí)驗(yàn)向幾何學(xué)生介紹基本的數(shù)論。

下一個(gè)要估算的數(shù)學(xué)常數(shù)是——

π

1768年約翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）證明π是無(wú)理數(shù)。1882年費(fèi)迪南德·馮·林德曼（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）首次證明π是超越數(shù)。

希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過(guò)在圓內(nèi)外構(gòu)建正多邊形，為π的值找到了上下界。當(dāng)使用96邊形時(shí)，阿基米德發(fā)現(xiàn)3.1408<π<3.1429。

計(jì)算機(jī)的發(fā)展帶來(lái)了計(jì)算π值的不同方法。蒙特卡洛方法就是其中一類，通過(guò)評(píng)估多次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)近似值。

蒙特卡洛方法中的一種，蒙特卡洛積分，通過(guò)繪制一個(gè)內(nèi)切于正方形的單位圓，然后在正方形內(nèi)均勻隨機(jī)地散布點(diǎn)。

由于圓的面積是π，正方形的面積是4，圓內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量與總點(diǎn)數(shù)的比將大致等于π/4。

《我的世界》中同樣可以重現(xiàn)蒙特卡洛積分法，近似計(jì)算π值。

《我的世界》中的每個(gè)方塊都放置在網(wǎng)格上，所以無(wú)法制作一個(gè)完美的圓形。然而，網(wǎng)上有許多工具可以在《我的世界》中近似劃定一個(gè)圓的邊界。

作者使用了一個(gè)《我的世界》圓形生成器，做了一個(gè)半徑為11的近似圓形：

接下來(lái)的問(wèn)題是找一種在《我的世界》中生成隨機(jī)點(diǎn)的方法。

為此，作者利用了一種叫做“史萊姆”的生物的行為。使用史萊姆是因?yàn)榕c其他生物不同，當(dāng)附近沒(méi)有玩家時(shí)史萊姆會(huì)繼續(xù)移動(dòng)，并且它們會(huì)隨機(jī)改變方向。

而大多數(shù)其他生物有向東南方向行走的傾向，所以它們會(huì)聚集在正方形的東南角。

接著作者們讓另一種生物——僵尸疣豬獸（zoglin），殺死史萊姆，使用漏斗跟蹤史萊姆是否在圓內(nèi)被殺死。

在實(shí)驗(yàn)中，共有619個(gè)史萊姆被殺死，其中508個(gè)是在圓內(nèi)被殺死的。

所以得到了近似值：

近似誤差為4.49%。

因?yàn)?strong>蒙特卡洛方法通常收斂較慢，所以作者表示對(duì)這個(gè)相對(duì)較大的誤差并不驚訝。

如果童鞋們自己想嘗試的話，改進(jìn)方法：增大圓的大小和增加被殺死的史萊姆數(shù)量。

在這種蒙特卡洛方法中，圓的大小通常不會(huì)影響近似值的準(zhǔn)確性，但由于在《我的世界》中無(wú)法制作完美的圓形，增大圓的大小將提高近似值的準(zhǔn)確性。

同樣，用來(lái)近似計(jì)算π值的方法，也可以用來(lái)近似計(jì)算其它定積分的值。

例如，假設(shè)你想使用《我的世界》進(jìn)行蒙特卡洛積分以近似計(jì)算積分：

通過(guò)作者創(chuàng)建的Desmos頁(yè)面的幫助，可以繪制出y=f(x)曲線與x軸之間的區(qū)域。

回想一下，定積分∫??f(x)?dx的值是由曲線y=f(x)與x軸在x=a到x=b之間圍成的區(qū)域的凈面積。

因此，在《我的世界》中近似計(jì)算定積分的一個(gè)方法是，首先找出在x軸上方區(qū)域和x軸下方區(qū)域死亡的史萊姆數(shù)量之間的差異。

將這個(gè)差異乘以總面積再除以死亡的史萊姆總數(shù)，就可以得到定積分值的近似值。在《我的世界》中，可以用下面這個(gè)函數(shù)近似曲線y=f(x)：

這里?x?將x四舍五入到最近的整數(shù)。

作者們表示這可能是一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，適用于正在學(xué)習(xí)積分微積分的學(xué)生。

歐拉數(shù)e

接下來(lái)繼續(xù)上難度——?dú)W拉數(shù)e，歐拉數(shù)e的值保留到小數(shù)點(diǎn)后五位是e=2.71828。

大家可能記得e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，也是復(fù)合利息公式的一部分。它被定義為以下極限：

雖然以e為底的對(duì)數(shù)計(jì)算早在1618年就已經(jīng)開(kāi)始，但那時(shí)并沒(méi)有使用e這個(gè)符號(hào)。

所謂的e“發(fā)現(xiàn)”最早是由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在1638年研究連續(xù)復(fù)利時(shí)偶然發(fā)得出的，他嘗試計(jì)算上述極限，利用二項(xiàng)式定理證明了e的值在2和3之間，但當(dāng)時(shí)e還沒(méi)有一個(gè)具體的名字或更精確的近似值。

歐拉（Euler）最終將對(duì)數(shù)與e這個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)，他計(jì)算了上述極限，并用符號(hào)e表示其值，1737年證明了e是無(wú)理數(shù)。到了1873年，查爾斯·埃爾米特（Charles Hermite）進(jìn)一步證明了e是超越數(shù)。

話說(shuō)回來(lái)，在《我的世界》中近似e的值，要了解歐拉1748年提出的e的表達(dá)式：

現(xiàn)在考慮函數(shù)f(x)=e?，這個(gè)函數(shù)可以用它的麥克勞林級(jí)數(shù)表示為：

注意，當(dāng)x=?1時(shí)，得到到1/e的交錯(cuò)級(jí)數(shù)展開(kāi)式：

我們將看到，這個(gè)表達(dá)式的第n個(gè)部分和是一個(gè)特定計(jì)數(shù)問(wèn)題的解。

現(xiàn)在描述這個(gè)問(wèn)題，令：

定義：[n]的排列是[n]中元素的一個(gè)確定順序的排列。

[n]的排列可以看作數(shù)字1到n的線性排序。例如，[3]的排列包括123、132、213、231、312和321。[n]的排列總數(shù)是：

這個(gè)乘積傳統(tǒng)上用n!表示。

定義：一個(gè)錯(cuò)位排列是沒(méi)有固定點(diǎn)的[n]的排列。

換句話說(shuō)，如果ω是[n]的一個(gè)排列，那么那么當(dāng)且僅當(dāng)

ω是一個(gè)錯(cuò)位排列。

例如，考慮[6]的以下排列：ω=324165。這不是一個(gè)錯(cuò)位排列，因?yàn)閿?shù)字2在第二個(gè)位置，即ω?=2。

然而，排列ν=431562是一個(gè)錯(cuò)位排列，因?yàn)椋?/p>

我們用D(n)表示[n]的錯(cuò)位排列數(shù)，可以證明：

比較等式（2）和（3），可以看到

給出了等式（2）的第n個(gè)部分和。

因此，可以看到1/e近似等于隨機(jī)排列是錯(cuò)位排列的概率。特別地：

了解了這些過(guò)后，在《我的世界》中如何近似計(jì)算？

兩位作者制造了一臺(tái)機(jī)器，這臺(tái)機(jī)器能：

• 生成一個(gè)排列；
• 檢查該排列是否為錯(cuò)排。

一旦機(jī)器被制造出來(lái)，就讓它運(yùn)行多次，生成足夠大的樣本。

如前所述，投擲器可以用作隨機(jī)器。由于投擲器最多可以容納9種不同的物品，所以可以利用其隨機(jī)彈出機(jī)制來(lái)創(chuàng)建 [9]的排列。

投擲器中的每個(gè)格子對(duì)應(yīng)[9]中的一個(gè)數(shù)字。彈出的物品的順序可以被視為一個(gè)排列。而且在《我的世界》中是有方法可以自動(dòng)檢查投擲器彈出了哪個(gè)物品。

具體如何操作這里就不多贅述了。

因此，可以制造一臺(tái)機(jī)器來(lái)檢查所生成的排列是否為錯(cuò)排。這是通過(guò)檢查與某個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的格子是否在那個(gè)位置被彈出來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

如果9個(gè)格子中的每一個(gè)都被彈出到了與它們編號(hào)不對(duì)應(yīng)的位置，那么這個(gè)排列就是一個(gè)錯(cuò)排。

作者在實(shí)驗(yàn)生成的排列中，錯(cuò)排比例大約是1/e。也就是說(shuō)：

共生成了647個(gè)排列，其中238個(gè)是錯(cuò)排。所以e的近似值：

近似誤差大約是0.00766%，準(zhǔn)確度非常高了。

作者表示如果讓機(jī)器無(wú)限運(yùn)行，1/e的近似誤差將小于：

兩位作者同樣再次鼓勵(lì)大家自己嘗試一下，或許還能搞個(gè)新定義：

如果一個(gè)排列ω的條目交替上升和下降，那么稱這個(gè)排列為交錯(cuò)排列，即ω1<ω2>ω3< ….例如，排列1423是交錯(cuò)的，但排列1342不是，因?yàn)棣?≯ ω3。如果讓An表示[n]的交錯(cuò)排列數(shù)，那么安德烈定理（André’s Theorem）表明：

這意味著你可以使用《我的世界》來(lái)近似計(jì)算sec(1)+tan(1)的值。

布置完“課后作業(yè)”，兩位助理教授還特意留下這么一句話：

如果你完成了這個(gè)實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)聯(lián)系作者并告訴我們你的結(jié)果。

還沒(méi)完，還有一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，而且可能是你以前未曾見(jiàn)過(guò)的。

用作者的話說(shuō)，即使你遇到過(guò)它，可能也不知道它有一個(gè)名字——

阿佩里常數(shù)ζ(3)

ζ(3)，被定義為正立方數(shù)倒數(shù)的和，即：

之所以被記為ζ(3)，是因?yàn)樗窃趕=3時(shí)黎曼ζ函數(shù)（Riemann zeta function）的值。

一般來(lái)說(shuō)，黎曼ζ函數(shù)定義為：

歐拉證明了黎曼ζ函數(shù)的以下乘積公式：

阿佩里常數(shù)的值保留到小數(shù)點(diǎn)后五位是?ζ(3) = 1.20205。

1979年，羅杰·阿佩里（Roger Apéry）證明了ζ(3)是無(wú)理數(shù)。這個(gè)數(shù)字是否是超越數(shù)目前仍然是一個(gè)未解決的問(wèn)題。

阿佩里常數(shù)有各種級(jí)數(shù)和積分的表示形式。其中一些表示形式非常復(fù)雜。

然而，作者表示阿佩里常數(shù)的值可以通過(guò)概率方法確定，阿佩里常數(shù)的倒數(shù)是隨機(jī)選取的任意三個(gè)正整數(shù)互質(zhì)的概率。

為什么：

要使三個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，就不能有任何質(zhì)數(shù)同時(shí)整除這三個(gè)數(shù)。例如，6、9、21不是互質(zhì)的，因?yàn)樗鼈兌伎梢员?整除。對(duì)于一個(gè)質(zhì)數(shù)p，p整除一個(gè)隨機(jī)整數(shù)的概率是1/p。因此，p同時(shí)整除這三個(gè)數(shù)字的概率是1/p3。

這意味著至少有一個(gè)數(shù)字不被p整除的概率是：

讓P?表示三個(gè)隨機(jī)選定的正整數(shù)互質(zhì)的概率，由此得出：

比較等式（4）和（5），可以看出：

OK，那在《我的世界》中如何近似計(jì)算阿佩里常數(shù)。

作者們反復(fù)生成了三個(gè)隨機(jī)數(shù)的集合，稱為三元組，并手動(dòng)檢查這些數(shù)字是否互質(zhì)。互質(zhì)的三元組的比例將大約等于 ζ(3) 的倒數(shù)。

如前文所述，《我的世界》中偵測(cè)器能夠檢測(cè)到它面對(duì)的方塊狀態(tài)的變化。

而《我的世界》中許多方塊會(huì)在隨機(jī)間隔改變狀態(tài)。通常，每0.05秒，游戲隨機(jī)選擇一個(gè)16×16×16的立方體中的3個(gè)方塊來(lái)改變狀態(tài)。如果選定的方塊有改變狀態(tài)的能力，它們將以一定的預(yù)定概率改變狀態(tài)。

為了生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)三元組，作者安排了三個(gè)偵測(cè)器，每個(gè)偵測(cè)器面對(duì)自己的竹子植物，還使用了一個(gè)漏斗計(jì)時(shí)器來(lái)記錄每個(gè)竹子植物改變狀態(tài)所需的時(shí)間。

belike：

需要注意的是，生成的隨機(jī)數(shù)并不遵循均勻分布，而是遵循負(fù)二項(xiàng)分布。

在實(shí)驗(yàn)中，作者收集了70個(gè)隨機(jī)數(shù)三元組，發(fā)現(xiàn)58個(gè)三元組是互質(zhì)的。

于是得到ζ(3)的近似值：

近似誤差約為0.4%。

作者補(bǔ)充道，這種方法生成的數(shù)字范圍在最小3和最大838之間，在獲取廣泛多樣的數(shù)字方面比預(yù)期做得更好。

最后來(lái)看“課后作業(yè)”。

回想一下，三個(gè)隨機(jī)選取的正整數(shù)互質(zhì)的概率是 ζ(3)?1。

一般來(lái)說(shuō)，Pm，即隨機(jī)均勻選擇的m個(gè)正整數(shù)互質(zhì)的概率，是ζ(m)?1。

這意味著你可以使用上述方法來(lái)近似各種m值的ζ(m)。特別是，你可以近似π的任何偶數(shù)次冪的值，因?yàn)棣?2k)總是π的2k次方的有理倍數(shù)。

例如，由于ζ(2)=π2/6，因此：

這意味著可以通過(guò)生成一對(duì)數(shù)字并檢查它們是否互質(zhì)來(lái)近似π2的值。

對(duì)于那些尋求挑戰(zhàn)的人，還可嘗試通過(guò)在《我的世界》中制造一個(gè)機(jī)器來(lái)自動(dòng)化檢查過(guò)程，該機(jī)器可以找到兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。如果最大公約數(shù)是1，那么這些數(shù)字就是互質(zhì)的。

作者表示：

制造這臺(tái)機(jī)器可能會(huì)很困難，但并非不可能在《我的世界》中完成。

好嘛，有哪位朋友挑戰(zhàn)一下下～