用Julia學習微積分：這有一份高贊數(shù)學教程 | 附習題+代碼

曉查 2019-05-14 09:03:36 來源：量子位

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以快速簡潔聞名Julia，本身就是為計算科學的需要而生。用它來學習微積分再合適不過了，而且Julia的語法更貼近實際的數(shù)學表達式，對沒學過編程語音的初學者非常友好。

最近，來自紐約斯塔頓島學院的數(shù)學系教授John Verzani編寫了一份微積分與Julia的教程，里面常見的微積分概念和圖像演示都有，比課本更生動直觀，每個章節(jié)后還附習題供讀者鞏固知識。

雖然很多學校在使用Mathematica、Maple等數(shù)學軟件在進行教學，但是Julia的優(yōu)勢是完全開源和免費。

準備工作

在使用教程之前，我們先給Julia安裝Plots包，這是用來繪制函數(shù)圖像的擴展包。此外還要安裝SymPy科學計算庫等其他軟件包。

using Pkg
Pkg.add("Plots")
Pkg.add("SymPy")
Pkg.add("Roots")
Pkg.add("ForwardDiff")
Pkg.add("ImplicitEquations")
using Plots
plot(sin, 0, 2pi)

安裝完以上的擴展包，就可以繪制函數(shù)圖像了。我們簡單繪制0到2π范圍的正弦函數(shù)圖像：

using Plots
plot(sin, 0, 2pi)

Julia支持輸入特殊數(shù)學符號，具體的方法是斜杠\后緊跟符號的LaTeX名稱，然后按下Tab鍵，就能輸出特殊字符。比如：

θ = 45; v? = 200

輸入θ的方法是\theta[tab]，輸入v?的方法是v\_0[tab]。

導數(shù)

完成了Julia部分的基本教學后，下面就是微積分的基本概念了。

先回顧一下導數(shù)的定義，從函數(shù)圖像上來看，導數(shù)就是函數(shù)割線斜率的極限，當割線上兩點合并成一點時，它就變?yōu)榍芯€。

其實就是求下面的極限：

Julia集成了求極限的功能，對于正弦函數(shù)sin(x)而言，求它的導數(shù)就是[sin(x+h)-sin(x)]/h在h趨于0時的極限

using SymPy
limit((sin(x+h) - sin(x))/ h, h, 0)

通過以上方法求得sin(x)在x=0處的導數(shù)為1，繪制成函數(shù)圖像就是：

f(x) = sin(x)
c = 0
tl(x) = f(c) + 1 * (x - c)
plot(f, -pi/2, pi/2)
plot!(tl)

導數(shù)的應用

1、牛頓法

通過切線逐步逼近，求方程的近似解。

2、洛必達法則求極限

寫成Julia語言：

using SymPy
a,x = symbols("a, x", positive=true, real=true)
f(x) = sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3)
g(x) = a - (a*x^3)^(1//4)

上面的表達式過于復雜，是0/0的未定式，對分子f(x)和分母g(x)分別分別求導：

fp, gp = subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)

得到結果

(-4*a/3, -3/4)

所以極限值為16a/9。

積分

定積分就是求函數(shù)曲線下包圍面積：

上圖展示了求定積分的方法：把函數(shù)下方圖形分割成若干個長條，隨著長條越分越細，這些長條的面積之和就越來越接近曲線下包圍的面積。

為了求函數(shù)f(x)=x²在[0,1]區(qū)間里的定積分的近似值，我們把整個區(qū)域劃分成50000份：

a, b = 0, 1
f(x) = x^2
n = 50_000
xs = a:(b-a)/n:b
deltas = diff(xs) 
cs = xs[1:end-1] 
sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))

最后求得結果為：

0.3333233333999998

顯然用這種方法求定積分太過復雜，這就需要引入不定積分的概念。不定積分是已知導數(shù)f’(x)求原函數(shù)f(x)。

定積分與不定積分由牛頓-萊布尼茲公式聯(lián)系起來：

積分的應用

學會了積分以后，教程里給出了它的幾個實際應用案例：

1、求曲線長度

求解f(x)=x²在[0,1]這段區(qū)間里的弧長，實際上求積分。

先求不定積分：

using SymPy
@vars x
F = integrate(sqrt(1 + (2x)^2), x)

F(1)-F(0)就是所求弧長：

2、求體積

求體積的方法是把物體“切”成一圈圈的米其林，每一圈的體積加起來就是總體積。

將直線x/r+y/h=1繞著y軸旋轉一周，得到一個底面直徑為r，高度為h的圓錐體。

using SymPy
@vars r h x y
R = r*(1 - y/h)
integrate(pi*R^2, (y, 0, h))

最后求得體積：

教程中還有很多其他基本概念，由于篇幅較長，我們就不一一介紹了，感興趣的朋友可以去博客中進一步學習。

原文地址：

https://calculuswithjulia.github.io/