數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谧汾s天才拉馬努金

一水 2025-04-27 16:47:16 來源：量子位

解題靠做夢？

如果有這么一個人，寫下這樣的復(fù)雜公式，并聲稱是受女神夢中啟發(fā)所得，大家伙兒通常會送他兩個字：民科。

但當(dāng)這個人一生中數(shù)千次寫下類似的數(shù)學(xué)公式和命題，并在此后的100年間，不斷地被證實正確，那么就只有一個可能——

他是拉馬努金。

之所以再度火爆，是因為直到今天，數(shù)學(xué)界還不斷有最新發(fā)現(xiàn)，在驗證他當(dāng)年留下的“謎題”。

拉馬努金，一位全數(shù)學(xué)界公認(rèn)的神人，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上最偉大的天才之一：

沒有接受過正統(tǒng)數(shù)學(xué)教育，在印度掛科到本科學(xué)位都沒拿到，卻憑借自己驚人的數(shù)學(xué)直覺征服數(shù)學(xué)大師G.H.哈代，使得劍橋大學(xué)三一學(xué)院的大門破例向他打開。

32歲就英年早逝，職業(yè)搞數(shù)學(xué)的時間只有短短6年，但他的數(shù)學(xué)筆記至今仍是傳奇——留下了近4000個公式，很多都在后來被證明正確。

他的恩師哈代甚至開玩笑說，自己對數(shù)學(xué)最大的貢獻(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)了拉馬努金：

和拉馬努金的交往是我一生中唯一的浪漫事件。

直到今天，后輩數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谧汾s著拉馬努金的步伐。

就在2024年9月，弗吉尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家小野肯（Ken Ono）和他的合作者們，還在PNAS（美國國家科學(xué)院院刊）上發(fā)表了一篇關(guān)于羅杰斯-拉馬努金恒等式的應(yīng)用論文，將其用于檢測質(zhì)數(shù)。

“夢中女神的啟示”

拉馬努金傳奇故事的構(gòu)成要素之一，是他獨(dú)特的做數(shù)學(xué)的方式。

簡單來說就是三個字：憑直覺。

畢竟以常規(guī)思維來評判，你很難理解一個20世紀(jì)10年代的數(shù)學(xué)家，是怎么寫出那么多看上去只有計算機(jī)才能搞定的表達(dá)式的。

他寫給哈代的第一封信，就讓哈代驚呼“我從未見過像這樣的東西”，其中的數(shù)學(xué)結(jié)果長這樣：

而拉馬努金自己也常常聲稱，他的直覺和靈感來自于女神托夢（他是一位婆羅門教徒），他在夢中得到靈感，醒來后就在筆記中記下這些表達(dá)式。

在今天，拉馬努金影響最深遠(yuǎn)的研究包括羅杰斯-拉馬努金恒等式。

這是與基本超幾何級數(shù)和整數(shù)拆分相關(guān)的兩個恒等式。

第一個恒等式是：

第二個恒等式是：

后世的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)羅杰斯-拉馬努金恒等式與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，比如統(tǒng)計物理學(xué)和表示論，存在深切的關(guān)聯(lián)。

比如，在20世紀(jì)80年代，羅格斯大學(xué)數(shù)學(xué)家James Lepowsky和Robert Wilson利用頂點算子代數(shù)理論，為羅杰斯-拉馬努金恒等式提供了一個新的表示論證明。

頂點算子代數(shù)理論在弦論的發(fā)展過程中發(fā)揮了重要作用，也在群論最大成果之一——怪獸月光理論的證明中發(fā)揮了關(guān)鍵作用。

拉馬努金猜想，則是數(shù)論和模形式研究中的一個重要里程碑。現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中最大的單項項目朗蘭茲綱領(lǐng)也和拉馬努金猜想有著緊密的聯(lián)系。

拉馬努金猜想通常是指關(guān)于模形式的τ函數(shù)系數(shù)大小的猜想。拉馬努金提出，對于：

其中，對于素數(shù)p，τ(p)的絕對值不會超過某一個數(shù)。

簡單來說，就是這個數(shù)列中的數(shù)字雖然會變大，但不會變得太快或太大。

這個猜想在1973年由皮埃爾·德利涅（Pierre Deligne）證明。

朗蘭茲綱領(lǐng)的核心是函子性猜想，這一猜想描述了不同代數(shù)群的自守表示之間的深刻聯(lián)系。函子性猜想包含很多著名的猜想，拉馬努金猜想就是其中之一。

自學(xué)成才的數(shù)學(xué)鬼才

總而言之，這位受到女神眷顧的數(shù)學(xué)家，在今天的數(shù)學(xué)史上，已經(jīng)成為一個繞不開的、金光熠熠的名字。

但在他出生的1887年，他的父母可能怎么也沒想到，他們這個沒落的印度婆羅門家庭里，會成長出這樣一位傳奇的數(shù)學(xué)鬼才。

拉馬努金出生于印度泰米爾納德邦埃羅德縣，父親是一位收入微薄的小職員，母親則是家庭主婦。

年幼的拉馬努金很快展現(xiàn)出了自己的天賦，在小學(xué)里取得了優(yōu)異的學(xué)業(yè)成績，但直到他進(jìn)入中學(xué)，他才算真正接觸到了正規(guī)數(shù)學(xué)，那一年他10歲。

在這樣的環(huán)境中，實際上，從接觸數(shù)學(xué)到發(fā)展出屬于自己的數(shù)學(xué)研究，拉馬努金最主要是靠自學(xué)。

一開始，他是跟著家里的兩個大學(xué)生租戶學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，但在11歲時，兩位大學(xué)生就沒什么能再教他的了。于是，他們借給了拉馬努金一本高等三角學(xué)的書，讓他能夠繼續(xù)自學(xué)。

13歲時，拉馬努金啃透了這本書，甚至還自己發(fā)現(xiàn)了一些復(fù)雜的定理。

在以全區(qū)最好成績升入當(dāng)?shù)馗咧泻螅瑧{借個人直覺和邏輯思維，他獨(dú)立推導(dǎo)了《純粹及應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本成果概要》中的大量數(shù)學(xué)公式。

具體來說，在仔細(xì)研究書中的5000個數(shù)學(xué)定理后，他發(fā)現(xiàn)了伯努利數(shù)，并里程碑式地將歐拉-馬斯切羅尼常數(shù)計算到了小數(shù)點后15位。

至高中畢業(yè)時，他被授予了K. Ranganatha Rao數(shù)學(xué)獎，校長還夸贊他的成績遠(yuǎn)在滿分之上。

只可惜，拉馬努金對數(shù)學(xué)的過度專注讓他在大學(xué)時期遭遇了挫折。

這一階段的求學(xué)經(jīng)歷只能用“混亂”來形容，期間經(jīng)歷了換校、學(xué)位考試兩度失敗（數(shù)學(xué)只答自己感興趣的，其他科目成績不佳），最終肄業(yè)，沒有拿到學(xué)位證。

大學(xué)失敗后，沮喪的他選擇了離家出走，以至于母親還在報上登了一份尋人啟事。

之后他一直陷于生活窘迫之中，不過仍未放棄獨(dú)立數(shù)學(xué)研究。

直到23歲那年，他認(rèn)識了稅務(wù)部門公務(wù)員V. Ramaswamy Aiyer，后者曾創(chuàng)立印度數(shù)學(xué)會，不過當(dāng)時已結(jié)束數(shù)學(xué)會第一任秘書職務(wù)。

命運(yùn)的齒輪就此轉(zhuǎn)動。

一開始，無業(yè)游民拉馬努金只想進(jìn)入稅務(wù)部門工作，于是向Aiyer展示了自己的數(shù)學(xué)筆記本。

看完筆記后， Aiyer立即深感不能在稅務(wù)底層部門埋沒拉馬努金的才華，于是寫了一封介紹信將他推薦給了自己的數(shù)學(xué)家朋友們。

這群人也非常看好他，層層舉薦后，拉馬努金來到了印度數(shù)學(xué)會秘書R. Ramachandra Rao面前。

這位秘書對他的研究印象深刻，但鑒于拉馬努金的知識背景，于是懷疑他作者身份的真實性。

經(jīng)過多方努力，最終拉馬努金拿到了一次面談機(jī)會：

在這位秘書面前，他侃侃而談橢圓積分、超幾何級數(shù)和發(fā)散級數(shù)理論……

而這，也最終征服了對方。當(dāng)?shù)弥R努金迫切需要工作和財政支持后，這位秘書把他推薦到了一所大學(xué)擔(dān)任研究員，并為他的研究提供經(jīng)濟(jì)資助。

后來，拉馬努金的研究成果發(fā)表在《印度數(shù)學(xué)會雜志》上。

這中間還發(fā)生了一件有意思的事：

當(dāng)時他將一個無限嵌套根式的方程，以謎題的形式投稿給期刊，想看看能收到哪些回答。

結(jié)果等了3個月，沒有任何人理他。

無奈之下，拉馬努金只能自己上場，咔咔一頓操作后，最終在第一本筆記的第105頁上，寫下了解決無限嵌套根式方程的解決方案。（自己挖坑自己填第一人）

總之在這一時期，拉馬努金一邊工作，一邊業(yè)余搞數(shù)學(xué)研究，生活還算相對平穩(wěn)。

再到后來，為了將一些工作成果更廣泛地傳播，拉馬努金開始給幾位英國數(shù)學(xué)家寫信：

我是一名職員…… 我并未受過大學(xué)教育…… 但我正在為自己開辟一條新道路……

信中還有幾頁數(shù)學(xué)推演，其中一些內(nèi)容之前有人推導(dǎo)過，還有一些不完全正確。

最先接到信的是HF Baker和EW Hobson這兩位教授，在沒有發(fā)表任何評論的情況下，他們直接退回了信件。

不過這沒有讓拉馬努金退縮，他繼續(xù)將信投給了那個“命中注定般的人”——數(shù)學(xué)家哈代。

雖然哈代初看這份手稿也以為是欺詐，但最后3個陌生公式吸引了他的注意力：

我以前從未見過這些東西，它們完全打敗了我。它們一定是真的，因為如果它們不是真的，就沒有人有想象力來發(fā)明它們。

震驚過后，哈代起了惜才之心，于是邀請拉馬努金前往劍橋大學(xué)一同研究。（提供劍橋獎學(xué)金）

于是從1914年開始，兩人和哈代的另一同事李特爾伍德開始了長達(dá)5年的合作研究。

僅就拉馬努金和哈代來說，二人的合作并不容易：哈代追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，而拉馬努金更相信直覺。

不過期間二人還是發(fā)生了不少有趣的小故事：

一次，拉馬努金生病住院了。哈代為了幫他解悶，告訴他出租車的編號是1729，“一個看起來沒什么意思的數(shù)字”。

這可激起了拉馬努金的反駁，“不，這是個非常有趣的數(shù)字。”

他進(jìn)一步解釋，“在所有能用兩種方式寫成兩個自然數(shù)立方和的數(shù)字中，它是最小的那個。”

1729=1^3+12^3=9^3+10^3

這個故事后來被用來定義“的士數(shù)”。（不是太懂這些數(shù)學(xué)家的樂趣doge）

后來，拉馬努金因在高度復(fù)合數(shù)方面的工作拿到了研究型文學(xué)學(xué)士學(xué)位（博士學(xué)位的前身），并當(dāng)選倫敦數(shù)學(xué)會會員。

31歲那年，他更是憑借“對橢圓函數(shù)及對數(shù)論的貢獻(xiàn)”當(dāng)選史上最年輕的英國皇家學(xué)會會員，還是該機(jī)構(gòu)認(rèn)可的第二位印度人。

不過令人意外的是，剛剛?cè)〉镁薮蟪删偷睦R努金，卻很快走向了故事終局。

在因身體不適返回印度后。1920年，拉馬努金32歲英年早逝。

當(dāng)時人們認(rèn)為可能的死亡原因是結(jié)核病，直到1994年，后來有醫(yī)生對拉馬努金的醫(yī)療記錄和癥狀進(jìn)行了分析，得出的新結(jié)論是肝阿米巴病。

理由是拉馬努金離開印度前曾患過兩次痢疾，而阿米巴痢疾可能會潛伏數(shù)年，并導(dǎo)致肝阿米巴病。

后來的醫(yī)生表示，如果當(dāng)時能得到正確診療，這種病通常可以被治愈。

這也讓后人一直感到無比遺憾：

而為了紀(jì)念他，人們也專門設(shè)立了“拉馬努金獎”，每年由位于他的故鄉(xiāng)貢伯戈訥姆的Shanmugha文理工研究院（SASTRA）所頒發(fā)，獎金為10000美元。

獲獎?wù)咝铦M足兩個條件：

在拉馬努金研究領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家
獲獎時年齡需在32歲以下（正好是拉馬努金去世時候的年紀(jì)）

該獎自2005年頒發(fā)以來，至今已有22位獲得者，包括陶哲軒、詹姆斯·梅納德等多位菲爾茲獎得主，以及張偉、惲之瑋、劉一峰等等出身于北大數(shù)院的數(shù)學(xué)家們。

△圖源：Wikipedia

數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谧汾s拉馬努金

從1914年到1920年，實際上，拉馬努金作為職業(yè)數(shù)學(xué)家僅工作了6年的時間，但就像前文提到過的，他的成果至今影響著數(shù)學(xué)界的后輩們。

1976年，人們還在劍橋大學(xué)三一學(xué)院的圖書館中找到了拉馬努金生命最后一年的“筆記本”。

這個“筆記本”由138頁散亂的紙張組成，上面記錄了600多個數(shù)學(xué)公式，但沒有證明的過程。其中包括拉馬努金對模擬θ函數(shù)的研究——這個函數(shù)對計算黑洞的熵很有用。

包含這本“遺失的筆記本”在內(nèi)，拉馬努金留下的手稿筆記中，總共3900余個公式和定理。

盡管拉馬努金本人并沒有在筆記中留下明確的思路，但后輩數(shù)學(xué)家們依然認(rèn)為，“他為重要理論的開端奠定了基礎(chǔ)”。

直到今天，數(shù)學(xué)家們?nèi)栽谘R努金的遺產(chǎn)，追趕著這位傳奇人物的腳步。

巴黎西岱大學(xué)的數(shù)學(xué)家侯賽因·莫爾塔達(dá)（Hussein Mourtada）就是其中之一。

他從博士起就在研究奇點理論。他發(fā)現(xiàn)，能證明奇點深層基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的方法，就來自于拉馬努金在一個世紀(jì)以前寫下的數(shù)學(xué)陳述。

簡單來說，莫爾塔達(dá)在研究名為“胖點”的簡單奇點的弧空間時，發(fā)現(xiàn)弧空間的結(jié)構(gòu)可以用羅杰斯-拉馬努金恒等式來描述。

在此基礎(chǔ)之上，他還和他的學(xué)生Pooneh Afsharijoo一起，探索了許多更復(fù)雜的奇點及其弧空間。Afsharijoo現(xiàn)在在馬德里康普頓斯大學(xué)擔(dān)任博士后研究員，他還發(fā)現(xiàn)了新的條件，擴(kuò)大了拉馬努金原始恒等式的范圍。

拉馬努金故事片《知者無涯》（The Man Who Knew Infinity）的副制片和顧問、弗吉尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)家小野肯，更是認(rèn)為自己的職業(yè)生涯一定程度上得益于拉馬努金的洞察。

2014年，小野和Michael J. Griffin、S. Ole Warnaar聯(lián)合發(fā)表論文，為羅杰斯-拉馬努金恒等式及其算術(shù)性質(zhì)提供了一個框架，解決了一個源自拉馬努金工作的長期謎團(tuán)。

2024年9月，他和William Craig和Jan-Willem van Ittterum一起，采用整數(shù)拆分方法來檢測素數(shù)——同樣是基于拉馬努金的工作。論文已發(fā)表在PNAS上。