3名高中生重新證明百年數學定理！只用課余時間、方法非常創新

奇月 發自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI

3名高中生，只用課余時間，重新證明了100年前的數學定理。

不只是圓，你可以在門格海綿（Menger Sponge）中找到任何一個數學結（knot）！

你可能對門格海綿還比較陌生，它是Karl Menger（卡爾·門格爾）在1926年創建的一個非常有趣的概念，對現代數學、圖形學等領域都很重要。

這個分形海綿在一百年間吸引了無數專業和業余數學家，原因也很簡單：它看起來太有趣了。

2014年，數百名數學愛好者還參與了一個名為MegaMenger的全球行動，用名片制作出了重達200磅的新版本門格海綿。

由于它有多孔、泡沫狀的結構，還經常被用來模擬減震器和特殊的空間-時間形式。

它的結構非常優雅。我們可以從一個立方體出發，首先移除位于其中心以及六個面中心的立方體。然后對剩下的 20 個立方體重復此過程。

在每次迭代中，它的間隙會呈指數級增加，最終結構非常類似我們常見的“海綿”，這也是它名字的由來。

門格海綿也有著非常特別的數學性質：隨著迭代，立方體的形狀體積會減少到零，而表面積無限增大。

Menger在1926年提出這個概念時，就證明了任何能想象出來的曲線——簡單的線條和圓形，看起來像樹或雪花的結構——都可以變形然后嵌入海綿的某個地方，也就是說這種海綿是一種“通用曲線”。

而今天的主角，來自加拿大的3名高中生，跟隨當時還在就讀多倫多大學研究生的Malors Espinosa(馬洛斯·埃斯皮諾薩)，進一步擴展了這個定理的證明。

而且他們還發現，三葉結所屬類 “普雷策爾結（pretzel knot）”也都可以映射到四面體版本的門格海綿中。

北卡羅來納州立大學的拓撲學家Radmila Sazdanovic也評論說，“這是一種非常巧妙的證明方法。”

這到底是怎么做到的呢？

用弧形圖與康托爾集表示結

Malors在閱讀了相關證明后意識到，Menger已經證明可以在他的海綿中找到任意一個圓。

那么，如果是另外一種類似于“圓”的形狀，這個定理還能成立嗎？

比如一個經典的數學結：將一條繩子扭曲并打結，然后將其兩端封閉形成一個環。此時，如果讓一只螞蟻沿著它行走，最終它會回到起點，就像在圓上一樣。

這樣一來，每個結都與圓等價，或者說“同胚（homeomorphic）”于圓。

Malors從這個想法中得到了靈感，他決定從自己授課的高中里找一些學生來證明：門格海綿中可以找到任何一個結。

后來，三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth真的做到了！

在參加這個證明活動之前，三位學生從來沒有做過這種“沒有答案”的題目，但這群14歲的少年都非常激動。

他們的目標類似于用一根微型針穿過一團灰塵，也就是海綿經過多次移除后剩下的部分。

他們必須將針插在正確的位置，精確無誤地打結，而且不能離開海綿。如果他們的線因為任何一個結而漂浮在海綿的縫隙中，那就失敗了。

雖然這看起來非常困難，但有一種簡化的方法。繩結可以表示為一張平面上的特殊圖表，稱為弧表示（arc presentations）。

要繪制弧表示圖，首先要了解結的各股是如何前后移動的。然后，運用一套規則將這些信息轉化為網格上的一系列點。網格的每一行和每一列都將包含兩個點。

用水平和垂直線連接這些點。每當兩個線段交叉時，將垂直線畫在水平線之上。

每個結都可以用這種網格狀的方式表示。雖然弧表示法有時看起來比其他的繪制方法更復雜，但它可以讓數學家更容易研究結的一些重要性質。

當學生們看到縱橫交錯的線條圖時，他們聯想起了門格海綿的面。

你可以非常簡單地把弧線的水平線放在海綿的一個面上，把垂直線放在海綿的另一個面上。

難點在于如何將結拉伸回三維空間。在弧線的每一個轉角處，都需要通過海綿的內部將兩個面連接起來，避免碰到洞。

為了確保這一點，他們想到了康托爾集（the Cantor set），它是門格海綿的一維模擬。

要構建這個集合，首先要從一條線段開始，把它分成三份。去掉中間的三分之一，然后對剩下的兩段做同樣的處理，以此類推，無窮無盡。最后剩下的就是零散的點了。

研究小組的證明同時利用了門格海綿和康托爾集，它們有相同數量的移除步驟。

他們發現，海綿面上坐標都在康托爾集中的點不應該有洞。而且，由于海綿的重復設計，在這些點的正后方也不應該有洞。因此，結可以自由、清晰地穿過海綿，而不會不小心跳出海綿的材料。

接下來，學生們要做的就是證明他們可以壓縮或拉伸任意繩結的弧線表示，使其所有角都與康托爾集中的坐標對齊。(這種壓縮和拉伸是可行的，因為它不會影響弧線的整體結構，因此也不會影響它所代表的繩結）。

為了完成這最后一步，3位同學走了一條捷徑。

他們證明，他們可以對任何弧線進行變形，使其垂直線段和水平線段的交叉點都在康托爾集中。這就自動保證了更多的角也會與康托爾集對齊。

換句話說，他們總能將給定的結嵌入門格爾海綿的某個迭代中。

這就已經完成了Malors最初的證明。不過，他們還想進一步推進這個研究：是否所有的結也可以嵌入門格海綿的四面體版本中？

對于學生們的想要在四面體中尋找三葉結的想法，Malors起初堅信是不可能的。

但幾周后，學生們真的做到了：他們找到了一種新方法，可以將三葉結的弧表示映射到四面體中。

他們后來證明，這種方法適用于三葉結所屬的更廣泛的結類 “普雷策爾結（pretzel knot）”。

不過目前對于其他類型的結的證明還沒能完成。

One More Thing

Malors表示，這次證明過程，讓學生們真正體會到了數學研究的痛苦。

不同于高中數學題目中總是會給出確定的答案，真正的數學研究中，很大一部分時間都是在有希望的失敗中掙扎。

Malors認為學生們的證明方法可能為更廣泛地測量分形的復雜性提供了一種新思路。

并非所有的分形都能保證容納所有類型的結。也許可以根據它們能容納和不能容納哪些類型的結來更好地理解它們的結構。

至少，這件作品可以激發新的藝術靈感，類似于2014年的MegaMenger大賽等等。

在證明期間，3位同學都已高中畢業。只有Broden決定在大學課業不忙的時候繼續研究四面體問題，但三人也都在考慮從事數學職業。

另一個同學Nazareth也表示：”我正在努力為更大的事業，為真理的本質做出貢獻，這感覺很有意義。

參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/teen-mathematicians-tie-knots-through-a-mind-blowing-fractal-20241126/