陶哲軒新論文：部分證明著名素數猜想，新方法用到了自己的舊模型
網友：需要一段時間來消化
蕭簫 發自 凹非寺
量子位 | 公眾號 QbitAI
陶哲軒又發新論文了！
這也是時隔一年，他再次獨立發表新論文。（arXiv顯示上一篇獨作論文發表時間是在去年2月）
這篇新論文依舊與陶哲軒鉆研的數論領域有關。
它證明了著名數學家埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）提出的一個交錯素數級數猜想，在哈代-李特爾伍德素數k元組猜想成立的條件下，是成立的。
（當然，哈代-李特爾伍德素數k元組猜想也是一個懸而未解的猜想，因此這項研究只是部分證明，并沒有完全解決）
這項研究，還用到了他在幾年前與合作者共同提出的一個素數隨機模型。
一起來看看。
證明了什么樣的猜想？
核心來說，這篇新論文要證明的，是埃爾德什提出的一個關于交錯素數級數收斂性的猜想。
這個猜想與一個長這樣的交錯級數有關，其中pn是第n個素數：
交錯級數，指的是項的符號是正負交替、而數值絕對值單調遞減的無限級數。它的一般形式，大伙兒在學高數時應該都見過：
但交錯級數并不一定收斂，因此需要具體級數具體判斷，這次陶哲軒證明的就是交錯級數中的一個特殊類型，即an是素數pn的倒數，這個級數是收斂的。
不過，還有個前提條件——在哈代-李特爾伍德素數k元組猜想成立的條件下。
哈代-李特爾伍德素數k元組猜想，由英國科學家哈代和李特爾伍德提出，它預測了給定差值集合的k個素數出現的頻率。
猜想認為，存在兩個絕對常數ε>0和C>0，對于所有x≥10、所有k≤(log log x)^5、和所有由不同整數h1,…,hk組成的k元組：
使得這個式子成立：
不過，這個猜想至今尚未解決。
這次陶哲軒直接在假設它成立的基礎上，證明了交錯素數級數收斂性猜想的成立。整個過程大約可以分為四步：
首先，基于Van der Corput差分定理來降低素數計數間隔的長度。
由于證明這個猜想，實際上需要估計區間[1,x]內素數個數的奇偶性分布，因此使用差分定理的目的，能將它轉化為僅考慮較短區間內素數個數奇偶性的問題。
轉化為這個問題之后，實際上就能用哈代-李特爾伍德素數k元組猜想來證明問題成立。
因此，接下來論文在假設哈代-李特爾伍德素數k元組猜想成立的基礎上，估計了短區間內k個素數的概率。
然后，陶哲軒使用幾年前與兩位數學家William Banks和Kevin Ford共同建立的隨機素數模型，來建模素數分布。
最后基于這個模型建立的分布證明猜想。
這篇博客發出后不久，就有網友趕來點贊，表示自己也在從用另一種方法嘗試解決這個猜想：
點贊！
我3周前剛在Thomas Bloom的網頁上發現了這個猜想，不過只有這篇論文第一句話的內容。
我從計算（computational）的角度嘗試搞定它。我把它看作是觀察每個結果的偶數和奇數索引之間的差異，然后嘗試進行曲線擬合，以確定差異可能為零的位置。
雖然不知道我的數據是否對解決這個問題有幫助，不過至少這提高了我的編程技能。
我還需要一些時間來消化你的論文，感謝！
One More Thing
值得一提的是，2004年陶哲軒和本·格林（Ben Joseph Green）提出的著名格林-陶定理，也是基于埃爾德什·帕爾（Erd?s Pál）另一個更著名的等差數列猜想而來。
其中，埃爾德什等差數列猜想如下：
格林-陶定理進一步將猜想范圍縮小到他們研究的素數范圍內，相當于埃爾德什等差數列猜想的一個“特例”：
埃爾德什為解決這個等差數列猜想懸賞了5000美元。
這些年除了陶哲軒以外，也有不少數學家致力于它的研究，例如Thomas Bloom和Olof Sisask。他們在2020年，證明了整數無窮數列一定包含長度至少為三的等差數列，將這個問題又向前推進了一步。
感興趣的小伙伴們可以挑戰一下了（手動狗頭）
新論文地址：
https://arxiv.org/abs/2308.07205
參考鏈接：
[1]https://arxiv.org/abs/2202.03594
[2]https://mathstodon.xyz/@tao/110891757976027117
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