電影院今天復工，應該如何排座位？這是個數學家研究了幾百年的問題
如何才能效率最高
曉查 編譯整理
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
今天，國內電影院在停業將近半年后終于復工了。為了保持合理的隔離距離，國家電影局規定每場電影的上座率不得超過30%。
那么問題來了：
如果有一間要影廳要復工，在保持安全距離的情況下，如何才能盡可能多的安排觀影人群？
這個問題，在當初辦公室復工的時候也同樣適用。
我們先來把這個問題轉化成一個幾何問題：
把每個人所在的位置看做圓心，隔離距離的一半（也就是3英尺）為半徑畫圓。怎樣才能讓這些圓排列得最密。
這個問題在現實中似乎有個最佳答案，我們可以買來一箱汽水，看看廠商怎么排列一罐罐圓形的汽水的。
上面可樂罐的這種排列方法叫做“正方形堆積”，因為將每個圓的圓心連接起來是正方形。
我們來算算這種飲料包裝究竟能占據多少比例的空間。
假設上圖中圓的半徑是r，那么正方形的邊長就是2r。圓的面積是πr2，正方形的面積是(2r)2。
那么這種排列方法所占的面積比例為：
也就是說平面有78.54%的面積被圓覆蓋，這是正方形堆積的密度。難道這就是效率最高的排列方式了嗎？
不難發現，其實還有一種排得更緊密的方法，將一排的可樂滑動到另一排的縫隙中，這種排列方式被叫做“六角堆積”。
這樣圓之間的縫隙更小，排列的密度也更高了。實際情況怎樣，我們來算算。
每個六角形內都是有1個整圓和6個1/3圓，所以相當于有3個整圓。
假設圓的半徑是r，六邊形邊長是s=2r，根據六邊形面積計算公式：
而一個六邊形內共有3個整圓，所以圓占據的面積是：
可以看到，填充率一下子提升到了90.69%，六角比正方形排列的效率更高。實際上也沒有其他方法比六角排列的填充率更高了。
但這個顯而易見的結論要獲得嚴格的數學證明卻非易事，包括拉格朗日、高斯等數學大神為之付出大量努力，直到1940年代，這個問題才得到嚴格證明。
既然六角排列的效率更高，為何飲料要采用正方形排列？那是因為飲料外包裝箱一般是方形，如果用六角排列，反而無法照顧到邊角。
倘若邊角占據的面積較小，那么90.69%相比78.54%帶來的提升還是能把邊角浪費的空間彌補回來。
到了三維空間，情況更為復雜。如何讓球體排列的密度更高，需要一層一層來。
第一層，我們用六角堆積的方式占據盡可能多的空間：
每3個球體之間都有1個孔隙，按照二維空間的方式，把第二層球體插入到孔隙中。但是我們不可能把每個孔隙都放上球體，因為相鄰孔隙之間的距離小于球體的直徑，我們只能間隔插入。就像下面這樣：
接下來第三層怎么排列，有兩種選擇：
一種方式是堆積六角堆積（HCP），就是填補如下的孔洞：
這樣就相當于第三層球位置與第一層一樣。從上面俯看下去，第一層和第三層重合，也就是ABABAB……的排列方式。
另一種是面心立方（FCC），填充以下位置：
從上面俯看下去，一二三層互不重合，也就是ABCABC……的排列方式。
如果你小時候壘過玻璃球，那么一般都會壘成面心立方。
巧合的是，兩種排列方式占據的空間比例都是
雖然填充空間的比例一樣，但這在物理和化學中卻是兩種完全不同的排列方式。
如果把球體看做是原子，那么怎么排列就決定了這種物質的晶體結構，也會影響其物理化學性質。
六角堆積和面心立方是不是三維空間中最密集的堆積方式呢？
早在1611年，著名天文學家開普勒就提出了這種猜想，但是直到1998年，才由數學家托馬斯·黑爾斯（Thomas Hales）提供完整的證明。
至此，2維、3維的情況都已經完全解決，但是在維度更高的空間里，哪種方式的排列密度最高，數學家們一直沒有解決，即使只是到4維。
直到2016年傳來了一個好消息，8維和24維空間的最密堆積問題已經被一位烏克蘭女數學家Maryna Viazovska證明。
為何偏偏是這兩種維數？因為隨著維度的增加，n維球與它的外切立方體的體積之比也越來越小。這一點有個直觀的理解方法：
n維立方體有2^n個角，而邊角是球體填充不到的地方，邊角數會隨著維度增加，所以球體填充率降低也在意料之中。
8維和24維中的球體收縮得恰到好處，讓球體之間的的孔隙正好能被另一相同同半徑球體填充，從而獲得了一種特殊的超密堆積。
現在科學家已經解決了1、2、3、8、24維的最密堆積情況，還有更多的維度等著他們去探索。
參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/the-math-of-social-distancing-is-a-lesson-in-geometry-20200713/
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