北大南開數學家解決著名“十杯馬天尼”問題：更統一、更優雅的證明

金磊 聞樂 發自 凹非寺

量子位 | 公眾號 QbitAI

困擾數學和量子力學交叉領域長達半個世紀的難題，因為北大、南開數學家的參與，終于是有了較為完美的答案。

這個難題有個非常有趣的名字，叫做“十杯馬天尼”（The Ten Martini Problem）。

之所以叫這個名字，是因為數學家馬克·卡茨（Mark Kac）在1981年表示，誰能解決這個問題，就請對方喝十杯馬天尼。

若是簡單來描述，十杯馬天尼問題是關于量子系統能譜結構的一個猜想，它斷言“幾乎Mathieu算子”（Almost Mathieu operators）在所有無理數頻率下的能譜是Cantor集。

其中，“幾乎Mathieu算子”是位勢為余弦函數的特殊薛定諤算子；Cantor集，則是一種分形結構（看起來像“塵埃”，沒有區間，只有無限分散的點）。

雖然在2004年至2005年期間，數學家Avila和Jitomirskaya最終給出了完整證明，即“幾乎Mathieu算子”的能譜就是Cantor集（Avila后來也因此獲得了菲爾茲獎）。

但隨著兩位中國數學家（北京大學葛靈睿、南開大學尤建功）加入Jitomirskaya的研究，他們進一步推廣了這個結論：

不僅僅是“幾乎Mathieu算子”，在更大類的“準周期算子”（quasiperiodic operators） 下，也成立類似的十杯馬天尼性質，即能譜是Cantor集。

他們的工作不僅為這個經典問題提供了一個前所未有地優雅、統一的證明，更重要的是，將結論從一個高度理想化的模型推廣到了更廣泛、更接近真實物理系統的場景中。

但要完整了解關于十杯馬天尼的故事，我們還需要追溯到1974年。

從“計算器上的蝴蝶”誕生的物理學猜想

故事的起因還要從一個叫做道格拉斯·霍夫斯塔特（Douglas Hofstadter）的人說起。

當時，他還只是一名在美國俄勒岡大學攻讀博士學位的物理系學生，那一年，他跟隨導師前往德國雷根斯堡進行學術休假，并加入了一個由頂尖理論物理學家組成的研究小組。

（PS：五年后，他將因撰寫《哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成》一書而榮獲普利策獎，成為一位享譽世界的思想家。）

小組的核心議題是一個基礎而又棘手的量子問題——

當一個電子在規則排列的晶體（晶格）中運動，并且同時受到一個垂直磁場的作用時，它的能量會呈現出怎樣的分布狀態？

這個問題在物理學上被稱為“布洛赫電子在磁場中的能譜問題”。小組的物理學家們普遍采用的是嚴謹而抽象的定理推演，試圖從理論上直接導出最終結論。

但霍夫斯塔特發覺自己很難跟上同僚們高深的數學思路，他回憶道：

從某種程度上說，我的幸運在于我跟不上他們。他們在證明定理，但那些定理似乎與問題的本質無關。

于是，霍夫斯塔特決定另辟蹊徑，采取一種在當時看來頗為“笨拙”的實驗性方法：數值計算。

他找到了一臺惠普9820A臺式計算器，這是一個重達近40磅、功能介于計算器和早期計算機之間的設備。

他的計劃是，不去直接挑戰最困難的理論情況，而是從簡化的問題入手，通過大量的計算來“看見”答案。

描述這一物理系統的核心工具是量子力學的基石——薛定諤方程。

在這個特定問題中，方程解出的“能譜”，即電子被允許擁有的能量值的集合，其形態由一個關鍵參數α決定。這個參數α正比于磁場強度與晶格單位面積的乘積，它捕捉了外部磁場對電子運動影響的本質。

理論上，當α是一個有理數時，系統具有周期性，雖然計算繁瑣，但原則上是可解的；然而，當α是一個無理數時，系統不再具有簡單的周期性，變成所謂的“準周期”系統，其求解在當時是一個巨大的理論障礙。

霍夫斯塔特沒有像同事們那樣一頭扎進無理數的理論困境中。他選擇從已知的有理數情況出發。他將計算器編程，讓它自動計算出一系列有理數α值所對應的能譜。

每天晚上，他設定好一個α值，然后讓計算器徹夜工作；第二天清晨，他會看到一卷長長的紙帶從機器中伸出，上面打印著該α值下所有允許的能量值的位置。

他將這些數據點費盡心思地用筆繪制在了一張巨大的坐標紙上。這張圖的橫軸代表電子的能量，縱軸代表參數α；每一個α值對應圖上的一條水平線，線上被標記出的點，就是電子在該磁場強度下可以存在的能級。

隨著他繪制的有理數α越來越密集，一個令人嘆為觀止的圖形逐漸浮現。

在那些被允許的能級（黑點）之間，存在著大片的“禁帶”（空白區域），而這些空白區域的形狀驚人地酷似一只展開翅膀的蝴蝶。

更奇妙的是，這只“蝴蝶”呈現出清晰的分形特征：如果你放大蝴蝶翅膀的任何一小部分，會發現它的圖案結構與整個蝴蝶的形態極其相似，這種自相似性可以無限延伸下去。

這張圖后來被科學界親切地稱為“霍夫斯塔特蝴蝶”。

他的同事們一開始對這種“苦力活”不以為然，甚至他的導師也批評這是“數字迷信”，并揚言要取消對他的資助。但霍夫斯塔特堅信，這幅美麗的圖形背后隱藏著深刻的物理和數學真理。

通過觀察圖形，他提出了一個驚人的猜想。

他注意到，當作為輸入的有理數 α=p/q 的分母q越來越大，即分數越來越復雜，越來越逼近一個無理數時，對應的能譜帶會分裂成越來越多的子帶，中間的縫隙也越來越多。

它整體結構在視覺上無限趨近于一個著名的數學對象——也就是我們開頭提到的，Cantor集。

Cantor集是一個經典的數學分形，可以通過一個簡單的迭代過程構造：從一條線段開始，去掉其中間的三分之一，剩下兩條較短的線段；然后，再分別去掉這兩條線段各自中間的三分之一；如此無限重復下去。

最終剩下的將不再是任何線段，而是一組無窮多個離散的點，像塵埃一樣分布在原來的線段上。

霍夫斯塔特由此推斷：當參數α是真正的無理數時，電子的能譜將不再是連續的能帶，而是一個完美的、具有無限精細結構的Cantor集。

用“十杯馬天尼”來懸賞

霍夫斯塔特的猜想如同一顆投入平靜湖面的石子，在數學物理學界激起了層層漣漪。

幾年后，兩位杰出的數學家馬克·卡茨（Mark Kac）和巴里·西蒙（Barry Simon）在研究一類被稱為“概周期函數”的數學對象時，獨立地從純數學的角度得出了與霍夫斯塔特完全相同的結論。

這就讓猜想的可信度大大增加，但嚴格的數學證明仍然遙不可及。問題的難度之大，卻激發了卡茨的幽默感。

在1981年的一次美國數學學會年會上，他半開玩笑地公開宣布，愿意為任何能夠嚴格證明此猜想的人獻上十杯馬天尼。

西蒙隨后在各種學術場合推廣了這個懸賞，使得“十杯馬天尼問題”聲名遠播，成為了衡量準周期系統研究進展的標尺。

在接下來的二十多年里，一代又一代的數學家向這個難題發起沖擊。

他們不斷發展出新的數學工具，成功地證明了對于“某些”特定類型的無理數（例如，那些可以用有理數很好近似的“劉維爾數”或性質相反的“丟番圖數”），猜想是成立的。

然而，一個能夠覆蓋所有無理數、不留任何死角的通用證明，始終未能出現。

直到2005年，僵局終于被打破。

數學家Svetlana Jitomirskaya與當時年僅24歲的天才數學家Artur Avila合作，發表了一篇里程碑式的論文，宣告“十杯馬天尼問題”已經被解決了。

他們自己也愉快地兌現了那十杯馬天尼的承諾，舉杯慶祝這一重大勝利。

然而，這個證明在慶祝的香檳氣泡散去后，卻顯露出其內在的“不完美”。它更像是一個“拼湊的被子”（a patchwork quilt），而非一件渾然天成的藝術品。

因為他們的證明為了覆蓋所有無理數，依賴了多種截然不同的、甚至有時是相互矛盾的技術手段：對于性質“溫和”的丟番圖數，他們采用一套分析方法；而對于性質“狂野”的劉維爾數，則不得不求助于另一套截然不同的代數工具。

這就讓整個證明過程顯得復雜而缺乏內在的統一美感。

更關鍵的是，這個證明存在一個根本性的局限：它嚴重依賴于霍夫斯塔特最初研究的那個模型的特殊對稱性，即所謂的“幾乎Mathieu算子”（Almost Mathieu Operator）。

這個模型是一個高度理想化的數學對象，就像幾何學中的完美圓形。

但在現實世界中，物理系統遠比這復雜：晶格可能存在缺陷，磁場也并非絕對均勻。當人們試圖將這個證明推廣到更貼近現實、對稱性被破壞的模型時，整個證明框架便轟然倒塌。

這讓數學家們陷入了新的困惑。難道“霍夫斯塔特蝴蝶”和Cantor集只是在那個完美數學模型中才存在的巧合嗎？

但戲劇性的一幕發生了，物理學的進展再次推動了數學的思考。

2013年，哥倫比亞大學的物理學家們利用兩層石墨烯材料，在強磁場下進行實驗，竟然在實驗室中清晰地觀測到了“霍夫斯塔特蝴蝶”的能譜結構！

這一發現震撼了學界，它雄辯地證明了這種奇特的分形結構并非數學家的空中樓閣，而是一種普遍存在的、穩健的物理現象。

Jitomirskaya坦言：“這突然讓問題從數學家的想象變成了實際的東西，這變得非常令人不安。”

物理現實迫切需要一個更強大、更具普適性的數學理論來給予解釋。

中國數學家破局了

2019年，中國數學家葛靈睿加入到Jitomirskaya的團隊，與南開大學數學教授尤建功一起改進Avila的理論。

這一次，他們不再只盯著“幾乎Mathieu算子”，而是定義了一類更廣泛的Type I算子（I型），這些Type I算子是通過T-加速度界定的。

首先，數學家們給Lyapunov指數（描述準周期算子對應“解的增長/衰減速度”的物理量）加了一個調節參數，這個調節參數會引起Lyapunov指數數值的變化，每段變化之間會有一個轉折點。

而T-加速度就可以簡單理解成Lyapunov指數在第一個轉折點附近的變化速度。具體定義如下：

而對于某個能量E，如果它對應的T-加速度等于1，那么就說這個E是Type I能量。對整個Mathieu算子來說，如果算子里所有能量E的T-加速度都等于1，那這個算子就是Type I算子。

葛靈睿、尤建功團隊證明的核心結論就是：只要是Type I算子，無論頻率是哪個無理數，它的頻譜一定是Cantor集。

證明的關鍵思路是利用對偶性和統一方法，具體表現在：

• 利用目標算子的對偶算子反推原算子的頻譜性質，降低證明的困難性；
• 還要實現能夠用穩定的統一方法來完成對這一類算子的證明。

為了證明Type I算子的頻譜是Cantor集，團隊還開發了3個可獨立使用的數學工具：

1. 將只適用于所有Lyapunov指數都為0情況下的Kotani理論，擴展到部分Lyapunov指數為0，部分為正的情況；
2. 證明了PH2算子（Type I算子的對偶算子就是PH2算子）的點譜是簡單的：即每個特征值只對應一個獨立的解；
3. 將幾乎Mathieu算子證明過程中用到的，只適用于丟番圖頻率的Puig論證擴展到全頻率適用。

過去，在不同無理數頻率下證明該問題要用不同的方法，這次，他們通過Type I算子和3個工具搞出了一套統一的證明方法，直接將之前Avila對于不同算子、特例算子的拼湊證明擴展到了一大類算子的單一證明上。

并且，Type I這類算子包含了幾乎Mathieu算子的微小變形、超臨界廣義Harper模型等，困擾數學家和物理學家半世紀之久的十杯馬天尼問題由此跨越了極大的一步。

除了十杯馬天尼核心問題之外，團隊還有一些額外貢獻。

首先，他們證明了十杯馬天尼問題的穩定性，即如果一個Type I算子滿足任意無理數頻率下的頻譜都是Cantor集，那么該算子附近的微小變形算子也滿足，這這種穩定性對實際應用有著重要意義。

其次，這項工作還推進了干燥十杯馬天尼問題，這是比原問題條件更嚴格的要求：需要頻譜的間隙不能閉合，全是開放的。目前團隊證明了幾乎Mathieu算子在某些條件下滿足該條件，為后續研究打下了基礎。

這些結果說明霍夫斯塔特蝴蝶并不是巧合，也證明了數論在物理學研究中有著重要作用。研究團隊表示：

我們預測，這只是我們用新方法所能解決的問題的起點。

這項工作的核心貢獻者葛靈睿也說：

我們發現的這個奧秘就像黑夜里的燈塔，指引我們走向正確的方向。

One More Thing

有意思的是，這項突破背后的兩位中國數學家是師徒關系，雖然現在一個在南開，一個在北大，但淵源伏筆卻在南京大學。

尤建功教授現在任職南開大學陳省身數學研究所，研究方向聚焦于動力系統。但實際上從1991年起，尤教授都在南京大學任職，直到2016年加盟南開陳省身數學研究所。

另一位數學家葛靈睿，本碩博均就讀于南京大學，他當時的指導老師就是尤建功教授。

他本人透露過，在讀大四時，尤老師推薦他讀了一本遍歷薛定諤算子譜理論的入門書。也正是這個機緣巧合，促使本在糾結研究方向的葛靈睿毫不猶豫地選擇了動力系統中算子譜理論與數學物理的交叉領域。

2022年，葛靈睿加盟北京大學獨立設置的北京國際數學研究中心，現任助理教授。而且他到北大后，就明確表示希望能在北大開設遍歷薛定諤算子譜理論這門課程，吸引更多的年輕人投入到這個領域的研究中。

真是學無南北，窮盡西東～

參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/ten-martini-proof-uses-number-theory-to-explain-quantum-fractals-20250825/
[2]https://arxiv.org/abs/2308.09321
[3]https://scholar.google.com/citations?user=T_jE_YAAAAAJ&hl=en