突破世紀難題！北大校友科大少年班才子破解希爾伯特第六問題

明敏 2025-06-14 17:13:22 來源：量子位

聞樂 發自 凹非寺

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1900年，數學大師希爾伯特提出23個數學難題，其中第六個問題——“物理學的公理化”，被稱為數學物理的終極挑戰。

125年后，北大校友鄧煜、中科大少年班馬驍與陶哲軒高徒扎赫爾?哈尼終于在這一問題上取得重大突破。

在20世紀，關于第六問題，希爾伯特追問：

能否像歐幾里得幾何一樣，為物理學構建嚴格的數學基礎？

因涉及從微觀粒子動力學到宏觀連續介質的多尺度關聯，這個問題證明起來非常困難。

在微觀層面，氣體由無數粒子組成，單個粒子運動服從牛頓力學（時間可逆）。

在宏觀層面，氣體的統計行為由玻爾茲曼方程描述（時間不可逆，趨向熵增）。

如何從可逆的微觀規律，演化出不可逆的宏觀行為？

125年來，無數數學家在此領域折戟沉沙。

愛因斯坦的廣義相對論、量子力學的數學框架雖部分實現了公理化愿景，但微觀與宏觀定律間的邏輯鴻溝始終未被彌合。

終于，三位數學家撕開了這道世紀難題的一角。

他們成功從微觀粒子模型推導出宏觀氣體行為，填補了牛頓力學與玻爾茲曼方程之間的邏輯鴻溝。

首次嚴格證明了從牛頓力學到玻爾茲曼方程的完整過渡，不僅為統計力學奠定了更堅實的數學基礎，更意外地解答了玻爾茲曼時代遺留的“時間箭頭之謎”。

核心突破

該問題的核心目標是從彈性碰撞的硬球粒子系統出發，嚴格推導出流體力學的基本偏微分方程，完成希爾伯特第六問題中從原子論到連續介質運動定律的推導程序。

解決該問題要分兩步走，先通過 “動力學極限” 從牛頓定律推導出玻爾茲曼方程，再通過 “流體動力學極限” 從玻爾茲曼方程推導出流體方程。

從牛頓到玻爾茲曼——“動力學極限”

考慮直徑為ε的N個硬球粒子組成的系統，當N趨于無窮大、ε趨于0時（稱為Boltzmann-Grad極限），證明粒子系統的單粒子密度可由玻爾茲曼方程描述。

鄧煜和哈尼最初專注于波系統研究（如光線傳播），曾在分析波的微觀到介觀過渡時，開發出分解復雜波動模式為簡單子模式的數學工具。

他們通過 “逐次近似法”，將多個波的相互作用拆解為兩兩或三三波的局部作用，從而簡化概率計算。

轉向粒子系統后，他們發現粒子碰撞與波的干涉本質不同

• 波可疊加穿透，而粒子碰撞后會改變軌跡，導致碰撞順序和次數直接影響結果（如多次碰撞可能引發 “蝴蝶效應”）。
• 需重新設計方法以追蹤粒子碰撞后的軌跡變化，避免因軌跡復雜性導致的計算爆炸。

于是，團隊從無限空間氣體模型入手（粒子最終離散，碰撞次數有限），而非直接挑戰 “盒子環境中粒子無限碰撞” 的難題，降低初始研究復雜度。

在無限空間中證明 “玻爾茲曼方程可由牛頓模型推導” 后，三人將技術遷移至周期性邊界條件的盒子環境（粒子碰撞盒壁后從對側重生，模擬無限空間）。

通過傅里葉變換將盒子環境中的粒子軌跡轉換為無限空間的虛擬軌跡疊加，從而復用無限空間中的碰撞模式分析方法，證明盒子環境中碰撞頻率與無限空間等效，且多次碰撞概率仍可忽略。

這一階段的研究證明了牛頓粒子模型在無限空間和盒子環境中，均可推導出玻爾茲曼方程（描述分子速度分布），解決了希爾伯特第六問題中 “最困難的邏輯斷層”。

從玻爾茲曼到流體方程——“流體動力學極限”

當玻爾茲曼方程中的碰撞率α趨于無窮大時，其解趨近于局部麥克斯韋分布，對應宏觀流體參數（密度ρ、速度u、溫度T）。

團隊在這一階段具體推導出了：

• 不可壓縮納維-斯托克斯-傅里葉方程組，描述流體的速度和密度演化。
• 可壓縮歐拉方程，描述流體的密度、速度和溫度的宏觀運動。

在從介觀到宏觀的研究進程中，數學家們的目標是證明描述分子層面行為的玻爾茲曼方程，能夠推導出描述宏觀流體運動的納維-斯托克斯方程。

為此，他們引入克努森數來衡量氣體的稀薄程度，判斷氣體更符合哪種方程的適用條件。

借助Chapman-Enskog展開法，科學家們把分子分布函數拆解成不同層級，逐步分析其中的變化。

在這個過程中，他們利用玻爾茲曼方程中碰撞滿足質量、動量和能量守恒的特性，推導出宏觀的守恒定律。

同時，通過熵增原理，將分子層面的變化與宏觀流體的能量損耗建立聯系。

經過多年研究，數學家們證明了在特定條件下，玻爾茲曼方程的解會逐漸趨近于納維-斯托克斯方程的解。

不過，這種推導也有局限性，只適用于接近平衡狀態的情況，對于復雜的湍流現象還無法完全解釋。

鄧煜、哈尼和馬驍三位數學家在完成微觀到介觀的推導后，結合前人在介觀到宏觀領域的成果，最終形成了形成“牛頓力學→統計力學→流體力學”的完整邏輯鏈。

用數學方法嚴謹地證明了氣體在不同尺度下的物理規律之間的聯系。

這項工作不僅標志著希爾伯特第六問題得到重大突破，還提供了一種對古老悖論嚴格的數學解決方案。

微觀層面粒子遵循牛頓定律，時間可逆，而介觀和宏觀層面的玻爾茲曼方程與納維-斯托克斯方程時間不可逆，這一矛盾曾令玻爾茲曼同時代人困惑。

玻爾茲曼認為雖單個粒子時間可逆，但幾乎所有碰撞模式最終使氣體擴散，時間不可逆。

蘭福德在極短時間范圍內從數學上證實此直覺，如今三位數學家的成果在更現實情況下進一步確認，從數學角度解決了這一古老悖論。

三位數學家

鄧煜本科由北大轉學到麻省理工學院取得數學學士學位，博士畢業于美國普林斯頓大學。

現任芝加哥大學數學系副教授，他的研究方向聚焦于數學物理與非線性偏微分方程。

2006年，他和柳智宇（那位下山還俗的北大數院天才）等一同獲得了國際數學奧林匹克競賽IMO的金牌，2024年獲ICBS數學前沿獎。

另一位華人數學家馬驍于2014年考入中科大少年班，2015學年被華羅庚數學科技英才班錄取，是普林斯頓大學博士，現為密歇根大學助理教授。

而本項工作的另一位數學家扎赫爾?哈尼（Zaher Hani）則是陶哲軒高徒。

他于2011年在UCLA獲得博士學位，博士論文是在陶哲軒的指導下完成的。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2503.01800

參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/