解析數論大牛獲邵逸夫獎，陶哲軒：他的課好難

西風 發自 凹非寺

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2024邵逸夫數學科學獎出爐，頒給了解析數論大牛彼得·薩納克（Peter Sarnak）。

陶哲軒第一時間送上祝賀，并透露研究生期間曾上過他的課，但“難到嚇人”：

我在讀研究生時從薩納克那里學習了解析數論，當時我覺得這個學科令人生畏，便轉而專注研究調和分析。

我目前在解析數論方面的許多工作都與他的研究相關，特別是他關于莫比烏斯函數與零熵序列不相交性的猜想；我早期在凱萊圖擴展性方面的工作也受到了彼得及其合作者奠基性工作的啟發。

彼得·薩納克現任美國普林斯頓大學數學講座教授，是今年邵逸夫數學科學獎唯一獲獎者。

官方宣布的獲獎理由是：

表彰他將數論、分析學、組合學、動力學、幾何學和譜論相結合，發展了薄群算術理論和仿射篩法。

據了解，薩納克將獲得120萬美元獎金（比諾貝爾獎還高20萬美元），約869萬RMB。

邵逸夫獎官網也更詳細地介紹了他的貢獻。

率先在稀疏子集中尋找多項式的殆素數值

在了解薩納克的研究前，我們先回顧一下什么是質數/素數：指大于1的自然數中，除了1和它本身外，不能被其它自然數整除。

公元前300年左右，古希臘數學家和幾何學家歐幾里得在《幾何原本》中提出了一個非常經典的證明，稱之為歐幾里得素數定理。

其中指出，除了0和1之外的任何自然數都是素數的乘積，并且素數有無窮多個。

研究素數的分布是數論的一個核心主題。科學家不斷尋找一個多項式函數f(x)，使得在無窮多個整數x上，f(x)的值都是素數。

根據歐幾里得定理，f(x)=x就是這樣的一種函數。

進一步擴展這個問題，可以要求f(x)在無窮多個整數x上是殆素數（almost prime valued），殆素數是指由有限個素數的乘積組成的正整數（6是一個殆素數，因為它等于2×3）。

例如，孿生素數猜想可以表述為，有無窮多個整數x，使得f(x)=x(x+2)的值是兩個素數的乘積（3和5、5和7、11和13就是孿生素數）。

中國數學家陳景潤1973年使用布倫的組合篩法證明了該函數在無窮多個整數x上最多有3個素數因子。

△圖源：百度百科

研究者還可以通過將x限定在一個稀疏的整數子集中來限制x的集合。對于任何具有整數系數的多元多項式，可以提出類似的問題。

薩納克開創了一種方法，可以在由薄群軌道形成的稀疏子集中尋找多項式的殆素數值。

薄群（thin group）是算術群的一個子群，它的特性可謂“恰到好處”：既不太大（為無窮指數），也不太小（具有與算術群相同的Zariski閉包）。

薄群在純數學和應用數學中出現得非常自然。例如整數apollonian圓堆積的對稱群就是一個薄群，還有很多克萊因群也都是薄群。

△整數apollonian堆積，每個圓都與給定的三個圓相切

擴展圖（expanders）是計算機科學中廣泛使用的一種高連接度的稀疏圖。

薩納克預見到，薄群的有限商群的擴展性質可以用來生成殆素數，于是他提出并發展了仿射篩法（affine sieve），與其他數學家一起，從一些薄群中構建了擴展圖。

其中也用到了他與另一位合作者的早期工作，其中展示了有限線性群表示的最小維數與擴展圖之間的關系。

他與Bourgain和Gamburd一同，獲得了薄群軌道上整數向量的精確計數和均勻分布結果，當對這些向量應用某個特定的多項式函數時，它們會取殆素數值。

并且，薩納克還與Golsefidy證明了，在某些自然假設下，一個整數多項式函數在薄群軌道的Zariski稠密子集中會產生殆素數。

薩納克將組合數學和遍歷理論方法引入丟番圖（Diophantus）問題，對這一領域產生了深遠的影響。

還有3位科學家也獲邵逸夫獎

邵逸夫獎于2002年設立，旨在表彰在學術及科學研究或應用近期作出杰出貢獻，或在其他領域取得卓越成就的科學家，被很多人稱作是“東方諾貝爾獎”。

除了數學科學獎，邵逸夫獎還設有天文學獎、生命科學與醫學獎。

邵逸夫天文學獎今年頒給了美國加州理工學院天文學與行星科學教授Shrinivas R Kulkarni。

獲獎理由是：

表彰他在毫秒脈沖星、伽馬射線暴、超新星以及其他可變或瞬變天體方面的開創性發現。他在時域天文學領域的貢獻推動了Palomar Transient Factory，及其繼任者Zwicky Transient Facility的構想、建設與領導，這些工作極大地革新了我們對時變光學天空的理解。

邵逸夫生命科學與醫學獎今年有兩位獲獎者，分別是美國國家心肺血液研究所高級研究員Swee Lay Thein、哈佛醫學院杰出教授Stuart Orkin。

獲獎理由是：

表彰他們發現了胎兒到成人血紅蛋白轉換的遺傳和分子機制，使得一種革命性且高效的基因編輯療法成為可能，可用于治療鐮狀細胞貧血和β地中海貧血等影響全球數百萬人的嚴重血液疾病。

參考鏈接：
[1]https://www.shawprize.org/prizes-and-laureates/mathematical-sciences/
[2]https://mathstodon.xyz/@tao/112479863527543754