歐拉、歐幾里得、笛卡爾都沒(méi)能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他探索了新的方案
網(wǎng)友：離真相又近了一點(diǎn)
蕭簫 發(fā)自 凹非寺
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歐拉、歐幾里得、笛卡爾、尼科馬修斯都沒(méi)能解決的千年數(shù)學(xué)問(wèn)題，還有破解的可能嗎？
還真有可能。
最近，一位名為佩斯·尼爾森?（Pace Nielsen）的數(shù)學(xué)家開辟了一種新方法，給這個(gè)“千年難題”提供了別樣的解決思路。
這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是奇數(shù)完美猜想，事實(shí)上，它的定義非常簡(jiǎn)單：
是否存在一個(gè)奇數(shù)，使得它是完美數(shù)？
然而，這個(gè)“簡(jiǎn)單問(wèn)題”卻在證明過(guò)程中變得越來(lái)越復(fù)雜，甚至成了數(shù)學(xué)上懸而未解的“疑案”。
有“完美”的奇數(shù)嗎？
首先來(lái)解決一個(gè)概念：“完美數(shù)”是什么？
這個(gè)數(shù)最早被畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，他給出了完美數(shù)的定義：
一個(gè)完美數(shù)（必須是自然數(shù)），如果將它除了自身以外的所有因數(shù)相加，等于它自己。
例如，6就是一個(gè)完美數(shù)。
由于6=1×6=2×3，所以6除了自己以外，它的約數(shù)還有1、2、3。
可以看見，這三個(gè)約數(shù)的和為1+2+3=6，恰好等于6自己。
除了6以外，還有28、496、8128……
根據(jù)這些排列出來(lái)的數(shù)，歐幾里得設(shè)計(jì)了一個(gè)公式，用來(lái)生成完美數(shù)。
假設(shè)一個(gè)質(zhì)數(shù)p，而2 ^ p – 1?（2的p次方-1）也同樣是一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么2^(p-1)×(2^p-1)就會(huì)是一個(gè)質(zhì)數(shù)。
問(wèn)題被解決了？
沒(méi)有。
2000年后，歐拉研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，歐幾里得給出的公式，實(shí)際上只能生成完美數(shù)中的每個(gè)偶數(shù)。
數(shù)學(xué)家尼科馬修斯（Nicomachus）下過(guò)定論，“完美數(shù)只能是偶數(shù)”，但沒(méi)有證明。
也就是說(shuō)，沒(méi)人知道完美奇數(shù)猜想是否正確——到底存不存在這樣的奇數(shù)（Odd Perfect Numbers，簡(jiǎn)稱OPN），使得它是完美數(shù)？
問(wèn)題吸引了不少數(shù)學(xué)家研究，OPN的限制條件也開始被提出：不能被105整除；任何OPN都必須大于10的2000次方……
限制條件越來(lái)越多，OPN存在的可能性也在被縮小——像漁夫“收網(wǎng)”一樣，越來(lái)越多的奇數(shù)正在被排除。
根據(jù)數(shù)學(xué)上的定理，如果兩個(gè)限制條件互相矛盾，那么OPN就不可能存在。
然而，隨著限制條件越來(lái)越多，條件之間卻沒(méi)有一點(diǎn)矛盾的跡象，導(dǎo)致這個(gè)猜想一直沒(méi)被證明。
對(duì)此，數(shù)學(xué)家約翰·沃伊特表示：證明一種事物的存在非常簡(jiǎn)單，但證明它不存在，卻要困難得多。
“收網(wǎng)”行不通，試試找相似
與眾多研究“完美奇數(shù)猜想”的數(shù)學(xué)家一樣，尼爾森一開始也試圖增加OPN的限制條件，以證明它不存在。
但他發(fā)現(xiàn)，這樣的證明方法會(huì)隨著限制條件的增加變得十分復(fù)雜。
為此，尼爾森研究前人的成果，發(fā)現(xiàn)了笛卡爾留下的“欺騙數(shù)”（spoof number）。
事實(shí)上，這是笛卡爾試圖證明“完美奇數(shù)”存在的一個(gè)失敗案例：他假裝某些數(shù)是質(zhì)數(shù)，以此得出了一個(gè)假冒版的“完美奇數(shù)”。
例如，198585576189是一個(gè)巨大的數(shù)，而22021是它的一個(gè)因數(shù)。
笛卡爾在證明過(guò)程中，假裝22021是質(zhì)數(shù)，將它和198585576189的其他因數(shù)相加，就等于198585576189自己，符合“完美奇數(shù)”的定義。
其實(shí)，22021等于19×19×61，這個(gè)數(shù)也因此成為了一個(gè)“欺騙數(shù)”。
此外，后人還在笛卡爾研究的基礎(chǔ)上，弄了一個(gè)“惡搞版”欺騙數(shù)——他假設(shè)負(fù)數(shù)也能成為完美數(shù)（完美數(shù)只能是自然數(shù)），證明了?22017975903是所有因數(shù)的和。
但如果將這種“欺騙數(shù)”用來(lái)證明“完美奇數(shù)”不存在呢？
尼爾森與研究團(tuán)隊(duì)用了幾年時(shí)間，找出了所有的“欺騙數(shù)”，并開始研究這些欺騙數(shù)的特點(diǎn)。
他提出了自己的觀點(diǎn)：“完美奇數(shù)”應(yīng)該具有“欺騙數(shù)”的一切特性，而且還自帶特殊條件。
而如果能證明“欺騙數(shù)”不符合“完美奇數(shù)”的任何一個(gè)限制條件，那么“完美奇數(shù)”就不可能存在。
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，由于“完美奇數(shù)”不能被105整除，那么如果“欺騙數(shù)”都可以被105整除，“完美奇數(shù)”就不存在。
雖然團(tuán)隊(duì)還沒(méi)有找到這樣的限制條件，但這無(wú)異于給“證明不可能”提供了一個(gè)更好的思路。
約翰·沃伊特表示，這是個(gè)偉大的嘗試。
也有網(wǎng)友表示，這離難題的解決又近了一點(diǎn)。
尼爾森與奇數(shù)完美猜想
尼爾森第一次與完美數(shù)猜想結(jié)緣，是在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽上。
被這個(gè)問(wèn)題所吸引，他找來(lái)了各種論文研讀，并在大學(xué)時(shí)期選擇了數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)學(xué)習(xí)，希望能為解決奇數(shù)完美猜想帶來(lái)幫助。
論文顯示，尼爾森曾經(jīng)在加州大學(xué)伯克利分校（UCB）工作，目前在楊百翰大學(xué)（BYU），繼續(xù)進(jìn)行奇數(shù)猜想相關(guān)的研究。
對(duì)于數(shù)論問(wèn)題，尼爾森表示自己“正在不斷取得進(jìn)展”。
“只有不斷到山里去，才可能最終找到鉆石。”
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-open-a-new-front-on-an-ancient-number-problem-20200910/
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